Determine se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}-\operatorname{impar}\{x(t)\}\

Passo 1

O enunciado dá um sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido por
y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}-\operatorname{impar}\{x(t)\}.
O que é pedido:
  • Determinar se o sistema é inversível (isto é, se a saída y(t) determina unicamente a entrada x(t)).
  • Caso afirmativo, determinar explicitamente o seu inverso (uma expressão que recupere x(t) a partir de y(t)).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Aparecem as operações \operatorname{par}\{\cdot\} e \operatorname{impar}\{\cdot\}, que são aplicadas ao sinal x(t).

Passo 2

Definição e interpretação das partes par (even) e impar (odd) de um sinal — isso é fundamental para manipular a expressão.
  • A parte par (ou “even”) de um sinal x(t) é definida por
\operatorname{par}\{x(t)\} = x_{\mathrm{e}}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}.
Explicação: essa é a componente de x que satisfaz x_{\mathrm{e}}(-t)=x_{\mathrm{e}}(t).
  • A parte ímpar (ou “odd”) de um sinal x(t) é definida por
\operatorname{impar}\{x(t)\} = x_{\mathrm{o}}(t) = \frac{x(t)-x(-t)}{2}.
Explicação: essa é a componente de x que satisfaz x_{\mathrm{o}}(-t)=-x_{\mathrm{o}}(t).
Observação didática curta: qualquer sinal x(t) pode ser escrito como soma de sua parte par e impar:
x(t)=x_{\mathrm{e}}(t)+x_{\mathrm{o}}(t).
Isso é útil porque nos permite manipular o enunciado com fórmulas explícitas.

Passo 3

Substituo as fórmulas das partes par e impar na expressão do sistema:
y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}-\operatorname{impar}\{x(t)\} = x_{\mathrm{e}}(t)-x_{\mathrm{o}}(t).
Agora escrevo x_{\mathrm{e}}(t) e x_{\mathrm{o}}(t) pelas suas fórmulas:
y(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}-\frac{x(t)-x(-t)}{2}.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica passo a passo:
y(t)=\frac{x(t)+x(-t)-x(t)+x(-t)}{2}.
Simplificando os termos x(t) que se cancelam:
y(t)=\frac{2\,x(-t)}{2}.
Portanto
y(t)=x(-t).
Interpretação: o sistema simplesmente reverte o sinal no tempo — é o operador de reversão temporal (time reversal).

Passo 5

Agora verifico se esse operador é inversível e, em caso afirmativo, escrevo o inverso.
Se y(t)=x(-t), então para recuperar x(t) basta reverter y no tempo outra vez:
x(t)=y(-t).
Defino o operador inverso S^{-1} por
S^{-1}\{y\}(t)=y(-t).
Verificação da inversão (mostrando que composições dão identidade):
  • Aplicando S^{-1} após o sistema S:
S^{-1}\{S\{x\}\}(t)=S^{-1}\{y\}(t)=y(-t)=x(-(-t))=x(t).
  • Aplicando S após S^{-1}:
S\{S^{-1}\{y\}\}(t)=S\{y(-\cdot)\}(t)=y(-t)(-t)=y(t).
(na prática a segunda linha é a mesma ideia: duas reversões no tempo devolvem o sinal original).
Como existe uma operação S^{-1} que compõe com S para dar a identidade, o sistema é inversível e o inverso é a própria reversão temporal.

Resposta

Sim, o sistema é inversível. O sistema corresponde a y(t)=x(-t) e o seu inverso é
x(t)=y(-t).

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