Determine se o sistema com entrada
e saída
definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
Passo 1
O enunciado dá um sistema com entrada
e saída
definido por
O que é pedido:
- Determinar se o sistema é inversível (isto é, se a saída
determina unicamente a entrada ). - Caso afirmativo, determinar explicitamente o seu inverso (uma expressão que recupere
a partir de ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Aparecem as operações
e , que são aplicadas ao sinal .
Passo 2
Definição e interpretação das partes par (even) e impar (odd) de um sinal — isso é fundamental para manipular a expressão.
- A parte par (ou “even”) de um sinal
é definida por
Explicação: essa é a componente de
que satisfaz
.
- A parte ímpar (ou “odd”) de um sinal
é definida por
Explicação: essa é a componente de
que satisfaz
.
Observação didática curta: qualquer sinal
pode ser escrito como soma de sua parte par e impar:
Isso é útil porque nos permite manipular o enunciado com fórmulas explícitas.
Passo 3
Substituo as fórmulas das partes par e impar na expressão do sistema:
Agora escrevo
e
pelas suas fórmulas:
Passo 4
Faço a simplificação algébrica passo a passo:
Simplificando os termos
que se cancelam:
Portanto
Interpretação: o sistema simplesmente reverte o sinal no tempo — é o operador de reversão temporal (time reversal).
Passo 5
Agora verifico se esse operador é inversível e, em caso afirmativo, escrevo o inverso.
Se
, então para recuperar
basta reverter
no tempo outra vez:
Defino o operador inverso
por
Verificação da inversão (mostrando que composições dão identidade):
- Aplicando
após o sistema :
- Aplicando
após :
(na prática a segunda linha é a mesma ideia: duas reversões no tempo devolvem o sinal original).
Como existe uma operação
que compõe com
para dar a identidade, o sistema é inversível e o inverso é a própria reversão temporal.
Resposta
Sim, o sistema é inversível. O sistema corresponde a
e o seu inverso é