Determine se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
y(t)=e^{x(t)}

Passo 1

O enunciado dá um sistema com entrada x(t) e saída y(t) descrito pela relação
y(t)=e^{x(t)}.
O que é pedido:
  • Determinar se o sistema é inversível (ou seja, se a partir de y(t) é possível recuperar unicamente x(t)).
  • Caso seja inversível, determinar explicitamente o sistema inverso (uma fórmula que produza x(t) a partir de y(t)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A lei que relaciona entrada e saída é ponto a ponto em t: a cada instante t vale y(t)=e^{x(t)}.
  • A função exponencial e^{u} está sendo aplicada ao valor instantâneo u=x(t).

Passo 2

O que significa “inversível” aqui (explicação didática):
  • Um sistema T que associa x(t) a y(t)=T[x](t) é inversível se existe outro operador T^{-1} tal que, para todo sinal de entrada x(t) do domínio, tem-se
T^{-1}[T[x]](t)=x(t)\quad\text{para todo }t.
  • Em palavras: para cada saída gerada pelo sistema existe exatamente uma entrada que a produziu, e o inverso recupera essa entrada sem ambiguidade.
  • Como a relação dada é ponto a ponto (não mistura instantes diferentes), basta analisar a invertibilidade da função real u\mapsto e^{u} aplicada a cada instante.

Passo 3

Propriedades da função exponencial úteis aqui (mini-aula):
  • A função f(u)=e^{u} tem domínio \mathbb{R} e imagem (0,\infty).
  • f é estritamente crescente (se u_1<u_2 então e^{u_1}<e^{u_2}). Isso implica que f é injetora: nunca produz o mesmo valor para dois u diferentes.
  • Para todo y>0 existe u=\ln(y) tal que e^{u}=y. Isso mostra que f é sobrejetora para (0,\infty).
  • Portanto f é bijetora entre \mathbb{R} e (0,\infty); logo tem inversa pontual f^{-1}(y)=\ln(y).

Passo 4

Prova de injetividade ponto a ponto (passo a passo pequeno):
  • Suponha que para um certo instante t existam x_1(t) e x_2(t) tais que
e^{x_1(t)}=e^{x_2(t)}.
  • Aplicando \ln (função inversa da exponencial) aos dois lados obtém-se
x_1(t)=x_2(t).
  • Conclusão: não há duas entradas diferentes que gerem a mesma saída no mesmo instante; o mapa é injetivo ponto a ponto.

Passo 5

Prova de existên­cia do inverso (surjetividade sobre saídas possíveis):
  • A imagem da exponencial é (0,\infty). Assim, para qualquer saída y(t) que satisfaça y(t)>0 em um instante t existe um único x(t)=\ln(y(t)) que gera essa saída:
e^{\ln(y(t))}=y(t).
  • Se em algum instante t a saída satisfaz y(t)\le 0, então esse valor não pode ser produzido por nenhum x(t) real, pois e^{x(t)}>0 sempre. Logo, tais saídas não pertencem ao alcance do sistema; sobre elas não existe inverso.

Passo 6

Conclusão sobre invertibilidade do sistema e construção do inverso:
  • O sistema é inversível quando restrito ao conjunto de sinais de saída y(t) que satisfazem y(t)>0 para todo t (ou ao menos para os instantes em que se quer recuperar x(t)).
  • O operador inverso é aplicado ponto a ponto usando o logaritmo natural:
x(t)=\ln\bigl(y(t)\bigr),
com a condição necessária y(t)>0 para que o \ln esteja definido.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (didática prática):
  • Se x(t)=0 para todo t, então y(t)=e^{0}=1. Aplicando o inverso x(t)=\ln(1)=0 recupera corretamente x.
  • Se alguém fornecer y(t)=0 em algum t, não há x(t) real que gere isso; portanto não existe inverso naquele ponto.

Resposta

Sim, o sistema é inversível para sinais de saída com y(t)>0 para todo t.
O inverso é
x(t)=\ln\bigl(y(t)\bigr),
definido somente quando y(t)>0 (para cada instante t).

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