Determine se o sistema com entrada
e saída
definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
Passo 1
O enunciado dá um sistema com entrada
e saída
descrito pela relação
O que é pedido:
- Determinar se o sistema é inversível (ou seja, se a partir de
é possível recuperar unicamente ). - Caso seja inversível, determinar explicitamente o sistema inverso (uma fórmula que produza
a partir de ).
Informações relevantes fornecidas:
- A lei que relaciona entrada e saída é ponto a ponto em
: a cada instante vale . - A função exponencial
está sendo aplicada ao valor instantâneo .
Passo 2
O que significa “inversível” aqui (explicação didática):
- Um sistema
que associa a é inversível se existe outro operador tal que, para todo sinal de entrada do domínio, tem-se
- Em palavras: para cada saída gerada pelo sistema existe exatamente uma entrada que a produziu, e o inverso recupera essa entrada sem ambiguidade.
- Como a relação dada é ponto a ponto (não mistura instantes diferentes), basta analisar a invertibilidade da função real
aplicada a cada instante.
Passo 3
Propriedades da função exponencial úteis aqui (mini-aula):
- A função
tem domínio e imagem . -
é estritamente crescente (se então ). Isso implica que é injetora: nunca produz o mesmo valor para dois diferentes. - Para todo
existe tal que . Isso mostra que é sobrejetora para . - Portanto
é bijetora entre e ; logo tem inversa pontual .
Passo 4
Prova de injetividade ponto a ponto (passo a passo pequeno):
- Suponha que para um certo instante
existam e tais que
- Aplicando
(função inversa da exponencial) aos dois lados obtém-se
- Conclusão: não há duas entradas diferentes que gerem a mesma saída no mesmo instante; o mapa é injetivo ponto a ponto.
Passo 5
Prova de existência do inverso (surjetividade sobre saídas possíveis):
- A imagem da exponencial é
. Assim, para qualquer saída que satisfaça em um instante existe um único que gera essa saída:
- Se em algum instante
a saída satisfaz , então esse valor não pode ser produzido por nenhum real, pois sempre. Logo, tais saídas não pertencem ao alcance do sistema; sobre elas não existe inverso.
Passo 6
Conclusão sobre invertibilidade do sistema e construção do inverso:
- O sistema é inversível quando restrito ao conjunto de sinais de saída
que satisfazem para todo (ou ao menos para os instantes em que se quer recuperar ). - O operador inverso é aplicado ponto a ponto usando o logaritmo natural:
com a condição necessária
para que o
esteja definido.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (didática prática):
- Se
para todo , então . Aplicando o inverso recupera corretamente . - Se alguém fornecer
em algum , não há real que gere isso; portanto não existe inverso naquele ponto.
Resposta
Sim, o sistema é inversível para sinais de saída com
para todo
.
O inverso é
O inverso é
definido somente quando
(para cada instante
).