Considere o campo de forças definido em
por
(a) Mostre que
é conservativo e encontre uma função potencial, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de forças
em duas dimensões e pede para mostrar que ele é conservativo. Além disso, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos verificar se as condições para ser um campo conservativo estão satisfeitas e, se sim, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de forças ser conservativo. Um campo
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função
, ou seja,
. Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem a condição de igualdade cruzada:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Como
, isso satisfaz a condição necessária para que o campo seja conservativo. Portanto, podemos concluir que
é, de fato, um campo conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Comparando os dois lados, percebemos que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como estamos procurando uma função potencial, podemos ignorar a constante
. Portanto, a função potencial é: