Considere o campo de forças definido em R^2 por
F(x, y)=(y^3+sen x) i+(3 x y^2+sen y) j
(a) Mostre que F é conservativo e encontre uma função potencial, ou seja, uma função
f: R^2 R tal que F(x, y)=nabla f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de forças F(x, y) em duas dimensões e pede para mostrar que ele é conservativo. Além disso, precisamos encontrar uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos verificar se as condições para ser um campo conservativo estão satisfeitas e, se sim, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de forças ser conservativo. Um campo F = Mi + Nj é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função f, ou seja, F = nabla f. Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem a condição de igualdade cruzada:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Vamos identificar M e N no nosso campo:
M(x, y) = y^3 + sin x
N(x, y) = 3x y^2 + sin y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3y^2
partial Npartial x = 3y^2

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x, isso satisfaz a condição necessária para que o campo seja conservativo. Portanto, podemos concluir que F é, de fato, um campo conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Sabemos que:
partial fpartial x = M = y^3 + sin x
partial fpartial y = N = 3x y^2 + sin y
Vamos integrar partial fpartial x em relação a x para encontrar f(x, y):
f(x, y) = integral (y^3 + sin x) , dx = y^3x - cos x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, pois a constante de integração pode ser uma função de y.

Passo 6

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar a partial fpartial y para encontrar g(y):
partial fpartial y = 3y^2x + g'(y) = 3x y^2 + sin y
Comparando os dois lados, percebemos que:
g'(y) = sin y
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = -cos y + C
Onde C é uma constante.

Passo 7

Agora, substituímos g(y) de volta na expressão de f(x, y):
f(x, y) = y^3x - cos x - cos y + C
Como estamos procurando uma função potencial, podemos ignorar a constante C. Portanto, a função potencial é:

Resposta

f(x, y) = x y^3 - cos x - cos y

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