Exercício 6. Faça o gráfico de
e calcule
.
periódica de período
e
, para
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma função periódica de período
definida por
para
e depois estendida periodicamente. O que precisamos fazer é: (a) desenhar o gráfico dessa função repetida a cada
, e (b) calcular a transformada de Laplace
.
Passo 2
O gráfico de
fica assim: no primeiro período, para
, a curva é a exponencial que cresce de
até
. No ponto
ela “salta” de volta para
e repete esse padrão indefinidamente (ou seja,
).
Passo 3
Para calcular a transformada de Laplace de uma função periódica de período
, usamos a fórmula da teoria:
Passo 4
No nosso caso,
e
em
. Então precisamos avaliar
Passo 5
Como
, esse integral é
Passo 6
Agora substituímos na fórmula da transformada periódica:
Passo 7
Podemos reorganizar para uma forma mais limpa: