Exercício 6. Faça o gráfico de f(t) e calcule Lf(t).
f periódica de período p=2 pi e f(t)=e^t, para t in(0,2 pi).

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma função periódica de período p=2pi definida por f(t)=e^t para tin(0,2pi) e depois estendida periodicamente. O que precisamos fazer é: (a) desenhar o gráfico dessa função repetida a cada 2pi, e (b) calcular a transformada de Laplace Lf(t).

Passo 2

O gráfico de f(t) fica assim: no primeiro período, para tin[0,2pi], a curva é a exponencial que cresce de f(0)=1 até f(2pi)=e^2pi. No ponto t=2pi ela “salta” de volta para 1 e repete esse padrão indefinidamente (ou seja, f(t+2pi)=f(t)).

Passo 3

Para calcular a transformada de Laplace de uma função periódica de período T, usamos a fórmula da teoria:
Lf(t) = integral0^infty e^-stf(t),dt = 11 - e^-sT integral0^T e^-stf(t),dt

Passo 4

No nosso caso, T=2pi e f(t)=e^t em [0,2pi]. Então precisamos avaliar
integral0^2pi e^-s t,e^t,dt = integral0^2pi e^(1-s)t,dt

Passo 5

Como sneq1, esse integral é
integral0^2pi e^(1-s)t,dt = [e^(1-s)t1-s]0^2pi = e^(1-s)2pi - 11-s

Passo 6

Agora substituímos na fórmula da transformada periódica:
Lf(t) = 11 - e^-2pi s cdot e^(1-s)2pi - 11-s

Passo 7

Podemos reorganizar para uma forma mais limpa:
Lf(t) = e^2pi(1-s) - 1(1-s),l(1 - e^-2pi sr)

Resposta

Lf(t) = e^2pi(1-s) - 1(1-s),l(1 - e^-2pi sr).

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