Esboce o gráfico da função abaixo:
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de h(x) = 2 ln(x+1), que é uma função logarítmica natural deslocada e esticada verticalmente. Para resolver vamos usar transformações de gráficos de ln(x): deslocamento horizontal e alongamento vertical.
Passo 2
Identificamos o domínio e a assíntota: como dentro do log precisamos de x+1>0, o domínio é x>−1. Logo há uma assíntota vertical em x=−1.
Passo 3
Determinamos o intercepto com os eixos: para x=0 temos h(0)=2 ln(1)=0, então o gráfico passa por (0,0). Não há intercepto em y além desse.
Passo 4
Escolhemos pontos adicionais para orientar o esboço: se x+1=e então x=e−1≈1.718 e h(e−1)=2 ln(e)=2·1=2; se x+1=e^{−1} então x=e^{−1}−1≈−0.632 e h(x)=2(−1)=−2.
Passo 5
Analisamos o comportamento limite e a forma: quando x→−1^+ ln(x+1)→−∞ então h(x)→−∞; quando x→+∞ ln(x+1)→+∞ então h(x)→+∞. A derivada h′(x)=2/(x+1)>0 para x>−1 mostra que é sempre crescente e sua curvatura é decrescente (côncava para baixo).
Passo 6
Com essas informações esboçamos o gráfico: uma curva que parte de −∞ perto de x=−1, passa por (0,0), por (e−1,2), e cresce indefinidamente, sempre crescente e côncava para baixo, com assíntota vertical em x=−1.
Resposta
O gráfico de h(x)=2 ln(x+1) é uma curva logarítmica crescente, com domínio x>−1, assíntota vertical em x=−1, passa por (0,0) e (e−1,2), e é esticada verticalmente em factor 2 em relação a ln(x+1).