Esboce o gráfico da função.
f(x)= \begin{cases}|x| & \text { se } x \leq 1 \\\\ 1 & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} |x| & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 1 & \text{se } x>1. \end{cases}
O que é pedido: esboçar (desenhar) o gráfico de f.
Informações relevantes dadas:
  • Para todos os x\leq 1 a função vale f(x)=|x|.
  • Para todos os x>1 a função vale f(x)=1.
  • Não há outras restrições.]

Passo 2

Entender como é o gráfico de |x|\) (isso vai cobrir a parte \(x\leq1\)). Definição útil: \[|x|=\begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\[4pt] x & \text{se } x\geq 0. \end{cases}
O gráfico de |x|\] é o clássico “V”: reta de equação \(y=-x para x<0 (inclinação -1) que cruza o ponto (0,0), e reta de equação y=x para x\geq0 (inclinação +1). Exemplos de pontos para fixar a forma:
  • x=-2\Rightarrow |x|=2 dá o ponto (-2,2).
  • x=-1\Rightarrow |x|=1 (-1,1).
  • x=0\Rightarrow |x|=0 (0,0).
  • x=0{,}5\Rightarrow |x|=0{,}5 (0{,}5,0{,}5).
  • x=1\Rightarrow |x|=1 (1,1).]

Passo 3

Identificar pontos de “mudança” na peça por partes: há duas aberturas importantes em x:
  • x=0 (mudança interna da fórmula de |x|), que é o vértice do “V” em (0,0).
  • x=1 (ponto onde a definição passa de |x| para a constante 1). Avaliando:
f(1)=|1|=1\quad(\text{porque }1\leq1),
e para x>1 temos f(x)=1. Portanto o valor em x=1 é 1 e a peça à direita também vale 1. Conclusão: f é contínua em x=1 e o ponto (1,1) pertence ao gráfico (círculo preenchido).

Passo 4

Descrever explicitamente cada ramo que vou desenhar:
  • Para x\leq0: use |x|=-x. Então o gráfico é a reta
y=-x,\quad x\leq 0.
  • Para 0\leq x\leq 1: use |x|=x. Então o gráfico é a reta
y=x,\quad 0\leq x\leq 1.
  • Para x>1: a função é constante
y=1,\quad x>1.

Passo 5

Como montar o esboço passo a passo (o que desenhar no papel):
  1. Marque o ponto (0,0). Desenhe a reta de inclinação -1 à esquerda desse ponto, seguindo y=-x para x\leq0 (passando por (-1,1),(-2,2), etc.). Essa reta cresce quando vamos para a esquerda.
  2. Do ponto (0,0) desenhe a reta de inclinação +1 até (1,1) (seguindo y=x em 0\leq x\leq1). Marque os pontos intermediários como (0{,}5,0{,}5).
  3. Em (1,1) coloque um ponto preenchido (porque x=1 está na primeira peça). A partir de (1,1) e para a direita desenhe a linha horizontal y=1 para todo x>1. Não há nenhum ponto aberto em x=1 — o gráfico é unido ali.
    Dica visual: o gráfico parece o “V” até x=1; a partir de x=1 a curva “se chata” e vira uma reta horizontal.

Passo 6

Anotar propriedades finais úteis para a prova (resumo que ajuda a checar):
  • Interseção com eixo y: (0,0).
  • Interseção com x para x\ge0: x=0 e mais nada (pois |x|=0 só em x=0). Para x<0, |x|>0, então nenhum outro zero.
  • Continuidade: f é contínua em todo \mathbb{R} (em particular em x=1 porque os dois ramos dão 1 ali).
  • Derivabilidade: não é derivável em x=0 (canto do “V”) e também há mudança de inclinação em x=1 (de reta inclinada para reta horizontal), então derivada não é contínua em x=1.
  • Comportamento extremo: quando x\to -\infty tem f(x)=|x|\to +\infty. Para x\to +\infty temos f(x)=1 (fica constante).

Resposta

O gráfico é o da função y=|x| para x\leq1 (um “V” com vértice em (0,0), formado pelas retas y=-x para x\leq0 e y=x para 0\leq x\leq1), e é a reta horizontal y=1 para x>1. O ponto (1,1) pertence ao gráfico (função contínua em x=1).

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