O que é pedido: esboçar (desenhar) o gráfico de f.
Informações relevantes dadas:
Para todos os x\leq 1 a função vale f(x)=|x|.
Para todos os x>1 a função vale f(x)=1.
Não há outras restrições.]
Passo 2
Entender como é o gráfico de |x|\) (isso vai cobrir a parte \(x\leq1\)). Definição útil:
\[|x|=\begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\[4pt] x & \text{se } x\geq 0. \end{cases}
O gráfico de |x|\] é o clássico “V”: reta de equação \(y=-x para x<0 (inclinação -1) que cruza o ponto (0,0), e reta de equação y=x para x\geq0 (inclinação +1). Exemplos de pontos para fixar a forma:
x=-2\Rightarrow |x|=2 dá o ponto (-2,2).
x=-1\Rightarrow |x|=1 dá (-1,1).
x=0\Rightarrow |x|=0 dá (0,0).
x=0{,}5\Rightarrow |x|=0{,}5 dá (0{,}5,0{,}5).
x=1\Rightarrow |x|=1 dá (1,1).]
Passo 3
Identificar pontos de “mudança” na peça por partes: há duas aberturas importantes em x:
x=0 (mudança interna da fórmula de |x|), que é o vértice do “V” em (0,0).
x=1 (ponto onde a definição passa de |x| para a constante 1). Avaliando:
f(1)=|1|=1\quad(\text{porque }1\leq1),
e para x>1 temos f(x)=1. Portanto o valor em x=1 é 1 e a peça à direita também vale 1. Conclusão: f é contínua em x=1 e o ponto (1,1) pertence ao gráfico (círculo preenchido).
Passo 4
Descrever explicitamente cada ramo que vou desenhar:
Para x\leq0: use |x|=-x. Então o gráfico é a reta
y=-x,\quad x\leq 0.
Para 0\leq x\leq 1: use |x|=x. Então o gráfico é a reta
y=x,\quad 0\leq x\leq 1.
Para x>1: a função é constante
y=1,\quad x>1.
Passo 5
Como montar o esboço passo a passo (o que desenhar no papel):
Marque o ponto (0,0). Desenhe a reta de inclinação -1 à esquerda desse ponto, seguindo y=-x para x\leq0 (passando por (-1,1),(-2,2), etc.). Essa reta cresce quando vamos para a esquerda.
Do ponto (0,0) desenhe a reta de inclinação +1 até (1,1) (seguindo y=x em 0\leq x\leq1). Marque os pontos intermediários como (0{,}5,0{,}5).
Em (1,1) coloque um ponto preenchido (porque x=1 está na primeira peça). A partir de (1,1) e para a direita desenhe a linha horizontal y=1 para todo x>1. Não há nenhum ponto aberto em x=1 — o gráfico é unido ali.
Dica visual: o gráfico parece o “V” até x=1; a partir de x=1 a curva “se chata” e vira uma reta horizontal.
Passo 6
Anotar propriedades finais úteis para a prova (resumo que ajuda a checar):
Interseção com eixo y: (0,0).
Interseção com x para x\ge0: x=0 e mais nada (pois |x|=0 só em x=0). Para x<0, |x|>0, então nenhum outro zero.
Continuidade: f é contínua em todo \mathbb{R} (em particular em x=1 porque os dois ramos dão 1 ali).
Derivabilidade: não é derivável em x=0 (canto do “V”) e também há mudança de inclinação em x=1 (de reta inclinada para reta horizontal), então derivada não é contínua em x=1.
Comportamento extremo: quando x\to -\infty tem f(x)=|x|\to +\infty. Para x\to +\infty temos f(x)=1 (fica constante).
Resposta
O gráfico é o da função y=|x| para x\leq1 (um “V” com vértice em (0,0), formado pelas retas y=-x para x\leq0 e y=x para 0\leq x\leq1), e é a reta horizontal y=1 para x>1. O ponto (1,1) pertence ao gráfico (função contínua em x=1).