Verifique que se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá uma desigualdade sobre
e pede para verificar uma outra desigualdade derivada. Especificamente:
- Dado:
- Pedido: mostrar que
Vou trabalhar a partir da desigualdade dada e transformar
de modo a relacioná-la com
.
Passo 2
Observe a expressão
. Reescrevemos em função de
:
Isto é apenas uma manipulação algébrica direta:
.
Passo 3
Aplicamos o valor absoluto na igualdade anterior:
Agora usaremos uma propriedade importante do valor absoluto: para quaisquer reais
e
vale a desigualdade triangular
Explicação curta da desigualdade triangular: escrevendo
e usando
obtém-se
; tomando raiz quadrada chega-se a
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade triangular com
e
obtemos:
Como
, fica
Passo 5
Usamos agora a propriedade do valor absoluto que separa multiplicação por constante: para todo real
e todo real
vale
. Aqui
e
, então
Substituindo na desigualdade do passo anterior:
Passo 6
Agora usamos a hipótese dada
. Como multiplicar por
(número positivo) preserva a desigualdade estrita, tem-se
Portanto, juntando com o termo
,
Passo 7
Compondo as desigualdades dos passos anteriores obtemos
logo segue que
que é exatamente o que se pedia verificar.
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: escolha
. Então
e
. Funciona conforme a prova acima.