Verifique que se |x+3|<\frac{1}{2}, então |4 x+13|<3.

Passo 1

O enunciado dá uma desigualdade sobre x e pede para verificar uma outra desigualdade derivada. Especificamente:
  • Dado: \lvert x+3\rvert<\frac{1}{2}.
  • Pedido: mostrar que \lvert 4x+13\rvert<3.
Vou trabalhar a partir da desigualdade dada e transformar \lvert 4x+13\rvert de modo a relacioná-la com \lvert x+3\rvert.

Passo 2

Observe a expressão 4x+13. Reescrevemos em função de x+3:
4x+13 = 4(x+3)+1.
Isto é apenas uma manipulação algébrica direta: 4(x+3)+1 = 4x+12+1 = 4x+13.

Passo 3

Aplicamos o valor absoluto na igualdade anterior:
\lvert 4x+13\rvert = \lvert 4(x+3)+1\rvert.
Agora usaremos uma propriedade importante do valor absoluto: para quaisquer reais a e b vale a desigualdade triangular
\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert.
Explicação curta da desigualdade triangular: escrevendo \lvert a+b\rvert^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 e usando |2ab|\le 2|a||b| obtém-se \lvert a+b\rvert^2\le (|a|+|b|)^2; tomando raiz quadrada chega-se a \lvert a+b\rvert\le |a|+|b|.

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular com a=4(x+3) e b=1 obtemos:
\lvert 4(x+3)+1\rvert \le \lvert 4(x+3)\rvert + \lvert 1\rvert.
Como \lvert 1\rvert = 1, fica
\lvert 4x+13\rvert \le \lvert 4(x+3)\rvert + 1.

Passo 5

Usamos agora a propriedade do valor absoluto que separa multiplicação por constante: para todo real k\ge 0 e todo real y vale \lvert k y\rvert = k\lvert y\rvert. Aqui k=4\ge 0 e y=x+3, então
\lvert 4(x+3)\rvert = 4\lvert x+3\rvert.
Substituindo na desigualdade do passo anterior:
\lvert 4x+13\rvert \le 4\lvert x+3\rvert + 1.

Passo 6

Agora usamos a hipótese dada \lvert x+3\rvert<\frac{1}{2}. Como multiplicar por 4 (número positivo) preserva a desigualdade estrita, tem-se
4\lvert x+3\rvert < 4\cdot\frac{1}{2} = 2.
Portanto, juntando com o termo +1,
4\lvert x+3\rvert + 1 < 2 + 1 = 3.

Passo 7

Compondo as desigualdades dos passos anteriores obtemos
\lvert 4x+13\rvert \le 4\lvert x+3\rvert + 1 < 3,
logo segue que
\lvert 4x+13\rvert < 3,
que é exatamente o que se pedia verificar.

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: escolha x=-3+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{11}{4}. Então \lvert x+3\rvert=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2} e \lvert 4x+13\rvert=\lvert -11+13\rvert=\lvert 2\rvert=2<3. Funciona conforme a prova acima.

Resposta

\lvert x+3\rvert<\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\\ \lvert 4x+13\rvert<3

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