Esboce o gráfico de uma função contínua
que satisfaça as condições seguintes
a)
número da unidade de sua matrícula;
número da dezena de sua matrícula
b)
c)
para
d)
para
e)
para
f)
para
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função contínua $ y = f(x) $ que atende a várias condições específicas. Para isso, vamos trabalhar com cálculos de derivadas para entender onde a função está aumentando ou diminuindo. A gente vai precisar saber como interpretar a derivada de uma função e como isso afeta o gráfico dela. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de $ a $ e $ b $. Segundo o enunciado:
- $ a $ é o número da unidade da sua matrícula.
- $ b $ é o número da dezena da sua matrícula.
Vamos supor, por exemplo, que a sua matrícula termina em 34. Então:
- $ a = 4 $
- $ b = 3 $
Essa é só uma suposição para facilitar a explicação. Você pode substituir pelos números reais da sua matrícula.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição b) que diz $ f(a) = 5 - b $.
Com nossos valores de exemplo:
Isso significa que no ponto $ x = 4 $, o valor da função é 2.
Passo 4
Vamos analisar a derivada $ f’(x) $. A derivada nos diz como a função está mudando:
- Se $ f’(x) > 0 $, a função está aumentando.
- Se $ f’(x) < 0 $, a função está diminuindo.
- Se $ f’(x) = 0 $, pode haver um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 5
A condição c) diz que $ f’(x) > 0 $ para $ x < a $. Com $ a = 4 $, isso significa que para todos os $ x $ menores que 4, a função está aumentando. No gráfico, isso será representado por uma linha que sobe à medida que nos movemos para a direita antes de $ x = 4 $.
Passo 6
A condição d) afirma que $ f’(x) < 0 $ para $ a < x < a+2 $. Substituindo:
Isso indica que entre $ x = 4 $ e $ x = 6 $, a função está diminuindo. No gráfico, após $ x = 4 $, a linha começa a descer.
Passo 7
A condição e) também diz que $ f’(x) < 0 $ para $ a+2 < x < a+4 $:
Ou seja, entre $ x = 6 $ e $ x = 8 $, a função continua diminuindo. O gráfico segue descendo nessa faixa.
Passo 8
A condição f) diz que $ f’(x) < 0 $ para $ x > a+4 $:
Isso significa que para qualquer $ x $ maior que 8, a função continua diminuindo. No gráfico, a linha continua descendo após $ x = 8 $.
Passo 9
As condições g), h) e i) dizem que as derivadas em $ x = a $, $ x = a+2 $ e $ x = a+4 $ são iguais a zero:
Esses pontos são críticos onde a função muda seu comportamento de crescente para decrescente ou vice-versa. No nosso caso, como a função está aumentando antes de $ x = 4 $ e diminuindo depois, $ x = 4 $ é um ponto de máximo. Já em $ x = 6 $ e $ x = 8 $, como a função continua diminuindo, esses podem ser pontos de inflexão.
Passo 10
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Para $ x < 4 $: linha subindo.
- Em $ x = 4 $: ponto máximo com $ f(4) = 2 $.
- De $ x = 4 $ a $ x = 8 $: linha descendo.
- Para $ x > 8 $: linha continua descendo.
O gráfico será uma curva que sobe até $ x = 4 $, atinge o ponto mais alto ali e começa a descer continuamente após esse ponto.
Resposta
O gráfico da função $ y = f(x) $ é uma curva que aumenta para $ x < 4 $, atinge um ponto máximo em $ x = 4 $ com $ f(4) = 2 $, e depois diminui continuamente para $ x > 4 $, passando por pontos de inflexão em $ x = 6 $ e $ x = 8 $.