Esboce o gráfico de uma função contínua y=f(x) que satisfaça as condições seguintes
a) a= número da unidade de sua matrícula; b= número da dezena de sua matrícula
b) f(a)=5-b
c) f^prime(x)>0 para x
d) f^prime(x)<0 para a
e) f^prime(x)<0 para a+2
f) f^prime(x)<0 para x>a+4
g) f^prime(a)=0
h) f^prime(a+2)=0
i) f^prime(a+4)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função contínua $ y = f(x) $ que atende a várias condições específicas. Para isso, vamos trabalhar com cálculos de derivadas para entender onde a função está aumentando ou diminuindo. A gente vai precisar saber como interpretar a derivada de uma função e como isso afeta o gráfico dela. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de $ a $ e $ b $. Segundo o enunciado:
  • $ a $ é o número da unidade da sua matrícula.
  • $ b $ é o número da dezena da sua matrícula.
Vamos supor, por exemplo, que a sua matrícula termina em 34. Então:
  • $ a = 4 $
  • $ b = 3 $
Essa é só uma suposição para facilitar a explicação. Você pode substituir pelos números reais da sua matrícula.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição b) que diz $ f(a) = 5 - b $.
Com nossos valores de exemplo:
f(a) = 5 - b
Isso significa que no ponto $ x = 4 $, o valor da função é 2.

Passo 4

Vamos analisar a derivada $ f’(x) $. A derivada nos diz como a função está mudando:
  • Se $ f’(x) > 0 $, a função está aumentando.
  • Se $ f’(x) < 0 $, a função está diminuindo.
  • Se $ f’(x) = 0 $, pode haver um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 5

A condição c) diz que $ f’(x) > 0 $ para $ x < a $. Com $ a = 4 $, isso significa que para todos os $ x $ menores que 4, a função está aumentando. No gráfico, isso será representado por uma linha que sobe à medida que nos movemos para a direita antes de $ x = 4 $.

Passo 6

A condição d) afirma que $ f’(x) < 0 $ para $ a < x < a+2 $. Substituindo:
f'(x) < 0
Isso indica que entre $ x = 4 $ e $ x = 6 $, a função está diminuindo. No gráfico, após $ x = 4 $, a linha começa a descer.

Passo 7

A condição e) também diz que $ f’(x) < 0 $ para $ a+2 < x < a+4 $:
f'(x) < 0
Ou seja, entre $ x = 6 $ e $ x = 8 $, a função continua diminuindo. O gráfico segue descendo nessa faixa.

Passo 8

A condição f) diz que $ f’(x) < 0 $ para $ x > a+4 $:
f'(x) < 0
Isso significa que para qualquer $ x $ maior que 8, a função continua diminuindo. No gráfico, a linha continua descendo após $ x = 8 $.

Passo 9

As condições g), h) e i) dizem que as derivadas em $ x = a $, $ x = a+2 $ e $ x = a+4 $ são iguais a zero:
x = a
Esses pontos são críticos onde a função muda seu comportamento de crescente para decrescente ou vice-versa. No nosso caso, como a função está aumentando antes de $ x = 4 $ e diminuindo depois, $ x = 4 $ é um ponto de máximo. Já em $ x = 6 $ e $ x = 8 $, como a função continua diminuindo, esses podem ser pontos de inflexão.

Passo 10

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Para $ x < 4 $: linha subindo.
  2. Em $ x = 4 $: ponto máximo com $ f(4) = 2 $.
  3. De $ x = 4 $ a $ x = 8 $: linha descendo.
  4. Para $ x > 8 $: linha continua descendo.
O gráfico será uma curva que sobe até $ x = 4 $, atinge o ponto mais alto ali e começa a descer continuamente após esse ponto.

Resposta

O gráfico da função $ y = f(x) $ é uma curva que aumenta para $ x < 4 $, atinge um ponto máximo em $ x = 4 $ com $ f(4) = 2 $, e depois diminui continuamente para $ x > 4 $, passando por pontos de inflexão em $ x = 6 $ e $ x = 8 $.

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