Esboce o gráfico da função
dada por
Passo 1
Neste exercício vamos esboçar o gráfico da função por partes
Conteúdo: funções definidas por partes e análise de continuidade, usando noções de comportamento de parábola e reta para cada intervalo.
Passo 2
Analisando o ramo para x<1, temos uma parábola f(x)=x^2+1 definida em (−∞,1). O vértice está em (0,1) e à medida que x→1^- obtemos
Portanto esboçamos a parábola até perto de x=1 e marcamos um ponto aberto em (1,2).
Passo 3
No ponto x=1 a função vale exatamente f(1)=4. Assim colocamos um ponto sólido em (1,4) isolado dos outros dois ramos.
Passo 4
Para x>1 temos uma reta decrescente f(x)=4−x definida em (1,∞). Quando x→1^+ vem
então o ramo linear inicia em (1,3) com ponto aberto e segue até, por exemplo, cruzar o eixo x em (4,0).
Passo 5
Unindo tudo: o esboço mostra a parábola x^2+1 em x<1 com ponto aberto em (1,2), o ponto isolado (1,4) e a reta 4−x em x>1 com ponto aberto em (1,3). Note que há salto de descontinuidade em x=1.
Passo 6
Em conclusão, o gráfico consiste nos três trechos descritos acima: ramo parabólico, ponto isolado e ramo linear, com aberturas e preenchimentos adequados para indicar continuidade e descontinuidade.
Resposta
Gráfico composto por:
• Para x<1: parábola f(x)=x²+1 com ponto aberto em (1,2).
• Em x=1: ponto sólido em (1,4).
• Para x>1: reta f(x)=4−x com ponto aberto em (1,3).
• Para x<1: parábola f(x)=x²+1 com ponto aberto em (1,2).
• Em x=1: ponto sólido em (1,4).
• Para x>1: reta f(x)=4−x com ponto aberto em (1,3).