Seja f:[12,+infty) [34,+infty) a função definida por f(x)=x^2-x+1. Mostre que f é uma bijeção e obtenha a expressão para sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f:[tfrac12,infty)to[tfrac34,infty), definida por f(x)=x^2-x+1, é bijetora e depois encontrar sua inversa. O conteúdo envolve monotonicidade de funções quadráticas e resolução de equação do segundo grau.

Passo 2

Para injetividade, calculamos a derivada f'(x)=2x-1. Como no domínio x>=tfrac12 temos 2x-1>=0, a função é estritamente crescente em todo o intervalo. Assim, não há dois valores distintos de x que levem ao mesmo f(x), garantindo a injetividade.

Passo 3

Para sobrejetividade, observamos que f(tfrac12)=(tfrac12)^2-tfrac12+1=tfrac34 e que, como f(x) cresce sem limite quando xto+infty, a imagem de f cobre todo o intervalo [tfrac34,infty). Isso mostra a sobrejetividade.

Passo 4

Para obter a inversa, trocamos f(x)=y e resolvemos a equação quadrática
x^2 - x + (1 - y) = 0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
x = 1 pm raiz1 - 4(1 - y)2 = 1 pm raiz4y - 32

Passo 6

Como queremos x>=tfrac12, escolhemos o sinal + no radical. Assim,
f^-1(y) = 1 + raiz4y - 32

Resposta

f^-1(x)=1+raiz4x-32

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