Seja
a função definida por
. Mostre que
é uma bijeção e obtenha a expressão para sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, definida por
, é bijetora e depois encontrar sua inversa. O conteúdo envolve monotonicidade de funções quadráticas e resolução de equação do segundo grau.
Passo 2
Para injetividade, calculamos a derivada
. Como no domínio
temos
, a função é estritamente crescente em todo o intervalo. Assim, não há dois valores distintos de
que levem ao mesmo
, garantindo a injetividade.
Passo 3
Para sobrejetividade, observamos que
e que, como
cresce sem limite quando
, a imagem de
cobre todo o intervalo
. Isso mostra a sobrejetividade.
Passo 4
Para obter a inversa, trocamos
e resolvemos a equação quadrática
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
Passo 6
Como queremos
, escolhemos o sinal
no radical. Assim,