Sejam f, g: R R dadas por f(x)=raizx-1 e g(x)=x^2-5 x+7. Determine o domínio maximal de (f circ g)(x).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de (f ∘ g)(x), onde f(x)=√(x−1) e g(x)=x²−5x+7. O conteúdo é composição de funções e domínio, e precisaremos garantir que o valor de g(x) esteja no domínio de f, isto é, que o radicando seja não negativo.

Passo 2

Escrevemos a composição:
[f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 7 - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.]
Para que f(g(x)) exista, precisamos de x^2 - 5x + 6 ≥ 0.

Passo 3

Resolvemos a inequação x^2 - 5x + 6 ≥ 0. Primeiro achamos as raízes da equação associada x^2 - 5x + 6 = 0. As soluções são x = 2 e x = 3.

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a expressão x^2 - 5x + 6 ≥ 0 ocorre para x ≤ 2 ou x ≥ 3.

Passo 5

Logo, o domínio maximal de (f ∘ g)(x) é todos os x tais que x ∈ (-∞, 2] ∪ [3, ∞).

Resposta

(-∞, 2] ∪ [3, ∞)

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