Sejam
dadas por
e
. Determine o domínio maximal de
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio de (f ∘ g)(x), onde f(x)=√(x−1) e g(x)=x²−5x+7. O conteúdo é composição de funções e domínio, e precisaremos garantir que o valor de g(x) esteja no domínio de f, isto é, que o radicando seja não negativo.
Passo 2
Escrevemos a composição:
[f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 7 - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.]
Para que f(g(x)) exista, precisamos de x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
[f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 7 - 1} = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.]
Para que f(g(x)) exista, precisamos de x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
Passo 3
Resolvemos a inequação x^2 - 5x + 6 ≥ 0. Primeiro achamos as raízes da equação associada x^2 - 5x + 6 = 0. As soluções são x = 2 e x = 3.
Passo 4
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a expressão x^2 - 5x + 6 ≥ 0 ocorre para x ≤ 2 ou x ≥ 3.
Passo 5
Logo, o domínio maximal de (f ∘ g)(x) é todos os x tais que x ∈ (-∞, 2] ∪ [3, ∞).
Resposta
(-∞, 2] ∪ [3, ∞)