Esboce o gráfico da função F dada por
F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t onde f(t)=\left\{\begin{array}{l}2 \text { se } 0 \leqslant t<1 \\frac{1}{t} \text { se } t \geqslant 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt
onde a função integrando é dada por
f(t)=\begin{cases} 2 & \text{se } 0\le t<1,\\[4pt] \dfrac{1}{t} & \text{se } t\ge 1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integral é tomada a partir de 0, portanto precisamos que f(t) esteja definida para t no intervalo entre 0 e x. Como f só foi dada para t\ge 0, a função F está bem definida somente para x\ge 0.
  • Há uma mudança no integrando em t=1; isso normalmente gera duas expressões diferentes para F: uma para 0\le x<1 e outra para x\ge1.
  • Objetivo final: obter as expressões de F(x) em cada região, analisar continuidade/diferenciabilidade e a forma do gráfico (reta no primeiro trecho, curva no segundo, pontos importantes e inclinações).]

Passo 2

Calcular F(x) para 0\le x<1.
Explicação didática rápida: integrar uma função constante é multiplicar essa constante pela largura do intervalo. Ou seja, se c é constante, então \int_{a}^{b} c\,dt = c(b-a).
Aplicando isso aqui: para 0\le x<1 temos f(t)=2 em todo o intervalo [0,x]. Logo
F(x)=\int_{0}^{x} 2\,dt = 2\cdot(x-0)=2x.
Interpretação: no trecho 0\le x<1 o gráfico de F é uma reta passando pela origem com coeficiente angular (inclinação) 2. A derivada nessa região é F'(x)=2, que coincide com f(x) (caso particular do Teorema Fundamental do Cálculo quando f é contínua ali).

Passo 3

Calcular F(x) para x\ge 1.
Estratégia: usar a propriedade de aditividade da integral para partir em dois trechos:
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{1} f(t)\,dt + \int_{1}^{x} f(t)\,dt.
No primeiro pedaço ( [0,1]) temos f(t)=2, então \int_{0}^{1} f(t)\,dt = \int_{0}^{1} 2\,dt = 2.
No segundo pedaço ( [1,x]) temos f(t)=\dfrac{1}{t}. A primitiva de \dfrac{1}{t} (para t>0) é \ln t, porque \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}. Então
\int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt = \big[\ln t\big]_{1}^{x} = \ln x - \ln 1 = \ln x.
Somando:
F(x)=2+\ln x\qquad\text{para } x\ge 1.
Observação didática: a função \ln x está definida para x>0, e aqui estamos integrando apenas a partir de t\ge1, então tudo está bem definido.

Passo 4

Verificar continuidade em x=1 e diferenciabilidade.
Calcular os valores laterais em x=1:
  • Pela expressão à esquerda (reta): \displaystyle \lim_{x\to1^-}F(x)=2\cdot 1=2.
  • Pela expressão à direita (log): \displaystyle \lim_{x\to1^+}F(x)=2+\ln 1=2+0=2.
Conclusão: F é contínua em x=1 (os dois lados coincidem e igualam F(1)=2).
Agora as derivadas laterais:
  • Derivada à esquerda: para 0<x<1, F'(x)=2, então \displaystyle F'_-(1)=2.
  • Derivada à direita: para x>1, F'(x)=\dfrac{d}{dx}(2+\ln x)=\dfrac{1}{x}, então \displaystyle F'_+(1)=\frac{1}{1}=1.
Como F'_-(1)\neq F'_+(1), F não é diferenciável em x=1. Didaticamente: isto é esperado porque f apresenta uma descontinuidade de valor em t=1 (de 2 para 1/1=1); o Teorema Fundamental do Cálculo garante F'(x)=f(x) apenas em pontos onde f é contínua.

Passo 5

Descrever o esboço do gráfico (como desenhar à mão) e principais características:
  • Domínio: x\ge 0 (não podemos ter x<0 porque f não foi definida para t<0).
  • Ponto inicial: F(0)=\int_{0}^{0} f(t)\,dt=0. Então o gráfico parte do ponto (0,0).
  • Trecho 0\le x\le 1: reta y=2x. Vai de (0,0) até (1,2). Inclinação constante 2.
  • Em x=1: ponto (1,2). Função é contínua ali.
  • Trecho x\ge 1: curva y=2+\ln x. Passa por (1,2) e cresce lentamente quando x aumenta. A inclinação imediatamente à direita de 1 é 1 (menos inclinada que a reta anterior). A concavidade para x>1 é negativa, pois F''(x)= -1/x^{2}<0 (a curva é côncava para baixo).
  • Comportamento para grandes x: F(x)\to\infty quando x\to\infty, mas cresce apenas como \ln x (muito mais devagar que uma reta).
Dicas para desenhar: desenhe os eixos, marque (0,0) e (1,2). Trace uma reta passando por esses dois pontos com inclinação 2. A partir de (1,2) continue com uma curva suave dada por 2+\ln x, menos inclinada que a reta em x=1 e com concavidade para baixo.

Resposta

F(x)=2x para 0\le x<1.
F(x)=2+\ln x para x\ge 1.
F é contínua em x=1 (valor F(1)=2) e não é diferenciável em x=1 (derivadas laterais 2 e 1).

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