No movimento de um corpo rígido, em relação a um sistema de coordenadas fixo,
\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{N}
em que \vec{L}=\mathbf{I} \cdot \vec{\omega}. Nesse caso, o tensor \mathbf{I} pode variar durante o movimento de rotação do corpo. Podemos evitar a variação de \mathbf{I} durante o movimento do corpo escrevendo a eq. (62) em relação a um sistema de eixos fixos no corpo. Usando a relação fundamental entre as derivadas em relação ao tempo para um sistema de coordenadas com movimento de rotação relativo,
\frac{d \vec{A}}{d t}=\frac{d^{*} \vec{A}}{d t}+\vec{\omega} \times \vec{A}
mostre que a eq. (62) pode ser escrita como
\mathbf{I} \cdot \frac{d \vec{\omega}}{d t}+\vec{\omega} \times(\mathbf{I} \cdot \vec{\omega})=\vec{N}
Será mais conveniente escolher como eixos do corpo os seus eixos principais \hat{e}_{1}, \hat{e}_{2} e \hat{e}_{3}. Para esse sistema de eixos, mostre que a eq. (64) pode ser escrita como
\left(\begin{array}{c} I_{1} \dot{\omega}_{1} \\\ I_{2} \dot{\omega}_{2} \\\ I_{3} \dot{\omega}_{3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \left(I_{3}-I_{2}\right) \omega_{3} \omega_{2} \\\ \left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{1} \omega_{3} \\\ \left(I_{2}-I_{1}\right) \omega_{2} \omega_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} N_{1} \\\ N_{2} \\\ N_{3} \end{array}\right)
correspondendo a três equações:
I_{1} \dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right) \omega_{3} \omega_{2}=N_{1}, \quad I_{2} \dot{\omega}_{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right) \omega_{1} \omega_{3}=N_{2}, \quad I_{3} \dot{\omega}_{3}+\left(I_{2}-I_{1}\right) \omega_{2} \omega_{1}=N_{3}
Essas são as equações de Euler para o movimento de corpos rígidos.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pedem para mostrar que, usando a relação entre derivadas em referências com rotação relativa, \frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{A}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{A},a equação de momento angular \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N},com \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}, pode ser escrita como \mathbf{I}\cdot\frac{d\vec{\omega}}{dt}+\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega})=\vec{N}.
  • Em seguida, usando eixos do corpo que são os eixos principais \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3, mostrar que essa equação dá as três componentes (equações de Euler) I_{1}\dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right)\omega_{3}\omega_{2}=N_{1},
I_{2}\dot{\omega}_{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right)\omega_{1}\omega_{3}=N_{2},
I_{3}\dot{\omega}_{3}+\left(I_{2}-I_{1}\right)\omega_{2}\omega_{1}=N_{3}.
  • Informações importantes dadas: \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}; \mathbf{I} é o tensor de inércia; \vec{\omega} é a velocidade angular; \vec{N} é o torque (momento das forças).
  • Observação que nos será útil: em um sistema de eixos fixo ao corpo (referência girante junto ao corpo) o tensor \mathbf{I} tem componentes constantes no tempo; por isso essa escolha simplifica derivadas.

Passo 2

Entendendo a relação entre derivadas em referencial inercial e referencial girante.
  • A fórmula \frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{A}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{A}significa o seguinte: \frac{d\vec{A}}{dt} é a derivada de \vec{A} vista por um observador inercial (fixo no espaço) e \frac{d^{*}\vec{A}}{dt} é a derivada de \vec{A} medida por um observador que gira com o corpo (ou seja, derivada das componentes no sistema de eixos do corpo).
  • A contribuição \vec{\omega}\times\vec{A} corrige pela rotação do sistema de referência. Intuitivamente, mesmo que as componentes de \vec{A} no referencial girante sejam constantes, um observador fixo verá \vec{A} variar se o referencial gira — essa variação é \vec{\omega}\times\vec{A}.
  • Notação prática que usaremos: denotaremos \frac{d^{*}}{dt} como a derivada no referencial do corpo; quando aplicável escreveremos \dot{\vec{\omega}} para significar \frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt}, ou seja, as derivadas das componentes de \vec{\omega} medidas nos eixos do corpo.

Passo 3

Aplicando a relação ao momento angular \vec{L}.
  • Começamos com a equação fundamental dada no enunciado: \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}.
  • Tomamos \vec{A}=\vec{L} na relação entre derivadas; obtemos \frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{L}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{L}.
  • Como \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}, substituímos: \frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d^{*}}{dt}\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr).

Passo 4

Por que podemos tirar \mathbf{I} para fora da derivada no referencial do corpo.
  • Escolhendo como referencial os eixos fixos ao corpo (ou seja, eixos ligados ao corpo), o tensor \mathbf{I} tem componentes constantes no tempo (os elementos do tensor referidos aos eixos do corpo não mudam enquanto o corpo gira, porque os eixos estão “grudados” no corpo). Portanto, \frac{d^{*}}{dt}\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)=\mathbf{I}\cdot\frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt}.
  • Usando a notação \dot{\vec{\omega}}=\frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt} para as derivadas das componentes de \vec{\omega} no referencial do corpo, reescrevemos: \frac{d\vec{L}}{dt}=\mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr).
  • Mas da equação do passo 3 sabemos que \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}. Portanto concluímos: \mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)=\vec{N},que é exatamente a forma pedida. (Aqui \dot{\vec{\omega}} é a derivada das componentes de \vec{\omega} no sistema de eixos do corpo.)

Passo 5

Escolhendo eixos principais do corpo e escrevendo \mathbf{I} diagonal.
  • Se escolhemos os eixos do corpo coincidentes com os eixos principais de inércia, o tensor de inércia toma forma diagonal: \mathbf{I}=\begin{pmatrix}I_{1} & 0 & 0\\[4pt]0 & I_{2} & 0\\[4pt]0 & 0 & I_{3}\end{pmatrix},onde I_{1},I_{2},I_{3} são os momentos principais de inércia em torno de \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3.
  • Escrevemos os vetores em componentes no sistema do corpo: \vec{\omega}=\begin{pmatrix}\omega_{1}\\[4pt]\omega_{2}\\[4pt]\omega_{3}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{I}\cdot\vec{\omega}=\begin{pmatrix}I_{1}\omega_{1}\\[4pt]I_{2}\omega_{2}\\[4pt]I_{3}\omega_{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculando o termo vetor \vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) componente a componente.
  • Use a definição do produto vetorial em componentes: para \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\[4pt] a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\[4pt] a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{pmatrix}.
  • Aplicando isso a \vec{a}=\vec{\omega} e \vec{b}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}=(I_{1}\omega_{1},I_{2}\omega_{2},I_{3}\omega_{3}), obtemos: \vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) =\begin{pmatrix} \omega_{2}\,(I_{3}\omega_{3})-\omega_{3}\,(I_{2}\omega_{2})\\[6pt] \omega_{3}\,(I_{1}\omega_{1})-\omega_{1}\,(I_{3}\omega_{3})\\[6pt] \omega_{1}\,(I_{2}\omega_{2})-\omega_{2}\,(I_{1}\omega_{1}) \end{pmatrix}.
  • Simplificando cada componente (colocando fatores semelhantes juntos): \vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) =\begin{pmatrix} (I_{3}-I_{2})\,\omega_{2}\omega_{3}\\[6pt] (I_{1}-I_{3})\,\omega_{3}\omega_{1}\\[6pt] (I_{2}-I_{1})\,\omega_{1}\omega_{2} \end{pmatrix}.(Observe que, por exemplo, a primeira componente foi I_{3}\omega_{2}\omega_{3}-I_{2}\omega_{3}\omega_{2}=(I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}.)]

Passo 7

Montando a equação vetorial componente a componente para obter as equações de Euler.
  • A equação vetorial obtida no passo 4 é \mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega})=\vec{N}.
  • Escrevendo \mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}} em componentes (com \dot{\vec{\omega}}=(\dot{\omega}_{1},\dot{\omega}_{2},\dot{\omega}_{3})): \mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}=\begin{pmatrix}I_{1}\dot{\omega}_{1}\\[4pt]I_{2}\dot{\omega}_{2}\\[4pt]I_{3}\dot{\omega}_{3}\end{pmatrix}.
  • Somando componente a componente com o vetor do passo 6, e igualando ao vetor torque \vec{N}=(N_{1},N_{2},N_{3}), obtemos: \begin{pmatrix}I_{1}\dot{\omega}_{1}\\[4pt]I_{2}\dot{\omega}_{2}\\[4pt]I_{3}\dot{\omega}_{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (I_{3}-I_{2})\,\omega_{2}\omega_{3}\\[6pt] (I_{1}-I_{3})\,\omega_{3}\omega_{1}\\[6pt] (I_{2}-I_{1})\,\omega_{1}\omega_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}N_{1}\\[4pt]N_{2}\\[4pt]N_{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Escrevendo explicitamente as três equações escalares (as equações de Euler).
  • Extraindo cada linha do sistema anterior obtemos as três equações: I_{1}\dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right)\omega_{3}\omega_{2}=N_{1},
I_{2}\dot{\omega}_{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right)\omega_{1}\omega_{3}=N_{2},
I_{3}\dot{\omega}_{3}+\left(I_{2}-I_{1}\right)\omega_{2}\omega_{1}=N_{3}.
  • Essas são exatamente as equações de Euler para o movimento de um corpo rígido escritas nos eixos principais de inércia.

Resposta

\mathbf{I}\cdot\frac{d\vec{\omega}}{dt}+\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega})=\vec{N}
I_{1}\dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right)\omega_{3}\omega_{2}=N_{1}
I_{2}\dot{\omega}_{2}+\left(I_{1}-I_{3}\right)\omega_{1}\omega_{3}=N_{2}
I_{3}\dot{\omega}_{3}+\left(I_{2}-I_{1}\right)\omega_{2}\omega_{1}=N_{3}

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