No movimento de um corpo rígido, em relação a um sistema de coordenadas fixo,
\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{N}
em que \vec{L}=\mathbf{I} \cdot \vec{\omega}. Nesse caso, o tensor \mathbf{I} pode variar durante o movimento de rotação do corpo. Podemos evitar a variação de \mathbf{I} durante o movimento do corpo escrevendo a eq. (62) em relação a um sistema de eixos fixos no corpo. Usando a relação fundamental entre as derivadas em relação ao tempo para um sistema de coordenadas com movimento de rotação relativo,
Será mais conveniente escolher como eixos do corpo os seus eixos principais \hat{e}_{1}, \hat{e}_{2} e \hat{e}_{3}. Para esse sistema de eixos, mostre que a eq. (64) pode ser escrita como
Essas são as equações de Euler para o movimento de corpos rígidos.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
Pedem para mostrar que, usando a relação entre derivadas em referências com rotação relativa,\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{A}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{A},a equação de momento angular\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N},com \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}, pode ser escrita como\mathbf{I}\cdot\frac{d\vec{\omega}}{dt}+\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega})=\vec{N}.
Em seguida, usando eixos do corpo que são os eixos principais \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3, mostrar que essa equação dá as três componentes (equações de Euler)I_{1}\dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right)\omega_{3}\omega_{2}=N_{1},
Informações importantes dadas: \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}; \mathbf{I} é o tensor de inércia; \vec{\omega} é a velocidade angular; \vec{N} é o torque (momento das forças).
Observação que nos será útil: em um sistema de eixos fixo ao corpo (referência girante junto ao corpo) o tensor \mathbf{I} tem componentes constantes no tempo; por isso essa escolha simplifica derivadas.
Passo 2
Entendendo a relação entre derivadas em referencial inercial e referencial girante.
A fórmula\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{A}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{A}significa o seguinte: \frac{d\vec{A}}{dt} é a derivada de \vec{A} vista por um observador inercial (fixo no espaço) e \frac{d^{*}\vec{A}}{dt} é a derivada de \vec{A} medida por um observador que gira com o corpo (ou seja, derivada das componentes no sistema de eixos do corpo).
A contribuição \vec{\omega}\times\vec{A} corrige pela rotação do sistema de referência. Intuitivamente, mesmo que as componentes de \vec{A} no referencial girante sejam constantes, um observador fixo verá \vec{A} variar se o referencial gira — essa variação é \vec{\omega}\times\vec{A}.
Notação prática que usaremos: denotaremos \frac{d^{*}}{dt} como a derivada no referencial do corpo; quando aplicável escreveremos \dot{\vec{\omega}} para significar \frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt}, ou seja, as derivadas das componentes de \vec{\omega} medidas nos eixos do corpo.
Passo 3
Aplicando a relação ao momento angular \vec{L}.
Começamos com a equação fundamental dada no enunciado:\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}.
Tomamos \vec{A}=\vec{L} na relação entre derivadas; obtemos\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d^{*}\vec{L}}{dt}+\vec{\omega}\times\vec{L}.
Como \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}, substituímos:\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d^{*}}{dt}\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr).
Passo 4
Por que podemos tirar \mathbf{I} para fora da derivada no referencial do corpo.
Escolhendo como referencial os eixos fixos ao corpo (ou seja, eixos ligados ao corpo), o tensor \mathbf{I} tem componentes constantes no tempo (os elementos do tensor referidos aos eixos do corpo não mudam enquanto o corpo gira, porque os eixos estão “grudados” no corpo). Portanto,\frac{d^{*}}{dt}\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)=\mathbf{I}\cdot\frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt}.
Usando a notação \dot{\vec{\omega}}=\frac{d^{*}\vec{\omega}}{dt} para as derivadas das componentes de \vec{\omega} no referencial do corpo, reescrevemos:\frac{d\vec{L}}{dt}=\mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr).
Mas da equação do passo 3 sabemos que \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}. Portanto concluímos:\mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times\bigl(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}\bigr)=\vec{N},que é exatamente a forma pedida. (Aqui \dot{\vec{\omega}} é a derivada das componentes de \vec{\omega} no sistema de eixos do corpo.)
Passo 5
Escolhendo eixos principais do corpo e escrevendo \mathbf{I} diagonal.
Se escolhemos os eixos do corpo coincidentes com os eixos principais de inércia, o tensor de inércia toma forma diagonal:\mathbf{I}=\begin{pmatrix}I_{1} & 0 & 0\\[4pt]0 & I_{2} & 0\\[4pt]0 & 0 & I_{3}\end{pmatrix},onde I_{1},I_{2},I_{3} são os momentos principais de inércia em torno de \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3.
Escrevemos os vetores em componentes no sistema do corpo:\vec{\omega}=\begin{pmatrix}\omega_{1}\\[4pt]\omega_{2}\\[4pt]\omega_{3}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{I}\cdot\vec{\omega}=\begin{pmatrix}I_{1}\omega_{1}\\[4pt]I_{2}\omega_{2}\\[4pt]I_{3}\omega_{3}\end{pmatrix}.]
Passo 6
Calculando o termo vetor \vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) componente a componente.
Use a definição do produto vetorial em componentes: para \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}),\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\[4pt] a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\[4pt] a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{pmatrix}.
Aplicando isso a \vec{a}=\vec{\omega} e \vec{b}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}=(I_{1}\omega_{1},I_{2}\omega_{2},I_{3}\omega_{3}), obtemos:\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) =\begin{pmatrix} \omega_{2}\,(I_{3}\omega_{3})-\omega_{3}\,(I_{2}\omega_{2})\\[6pt] \omega_{3}\,(I_{1}\omega_{1})-\omega_{1}\,(I_{3}\omega_{3})\\[6pt] \omega_{1}\,(I_{2}\omega_{2})-\omega_{2}\,(I_{1}\omega_{1}) \end{pmatrix}.
Simplificando cada componente (colocando fatores semelhantes juntos):\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega}) =\begin{pmatrix} (I_{3}-I_{2})\,\omega_{2}\omega_{3}\\[6pt] (I_{1}-I_{3})\,\omega_{3}\omega_{1}\\[6pt] (I_{2}-I_{1})\,\omega_{1}\omega_{2} \end{pmatrix}.(Observe que, por exemplo, a primeira componente foi I_{3}\omega_{2}\omega_{3}-I_{2}\omega_{3}\omega_{2}=(I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}.)]
Passo 7
Montando a equação vetorial componente a componente para obter as equações de Euler.
A equação vetorial obtida no passo 4 é\mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}+\vec{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{\omega})=\vec{N}.
Escrevendo \mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}} em componentes (com \dot{\vec{\omega}}=(\dot{\omega}_{1},\dot{\omega}_{2},\dot{\omega}_{3})):\mathbf{I}\cdot\dot{\vec{\omega}}=\begin{pmatrix}I_{1}\dot{\omega}_{1}\\[4pt]I_{2}\dot{\omega}_{2}\\[4pt]I_{3}\dot{\omega}_{3}\end{pmatrix}.
Somando componente a componente com o vetor do passo 6, e igualando ao vetor torque \vec{N}=(N_{1},N_{2},N_{3}), obtemos:\begin{pmatrix}I_{1}\dot{\omega}_{1}\\[4pt]I_{2}\dot{\omega}_{2}\\[4pt]I_{3}\dot{\omega}_{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (I_{3}-I_{2})\,\omega_{2}\omega_{3}\\[6pt] (I_{1}-I_{3})\,\omega_{3}\omega_{1}\\[6pt] (I_{2}-I_{1})\,\omega_{1}\omega_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}N_{1}\\[4pt]N_{2}\\[4pt]N_{3}\end{pmatrix}.]
Passo 8
Escrevendo explicitamente as três equações escalares (as equações de Euler).
Extraindo cada linha do sistema anterior obtemos as três equações:I_{1}\dot{\omega}_{1}+\left(I_{3}-I_{2}\right)\omega_{3}\omega_{2}=N_{1},