Um corpo simétrico gira livremente sem a aplicação de torque. Considere o eixo \hat{e}_{3} como de simetria de modo que I_{1}=I_{2}. Mostre que as equações de Euler (65) podem ser escritas como
\dot{\omega}_{1}+\beta \omega_{3} \omega_{2}=0, \quad \dot{\omega}_{2}-\beta \omega_{3} \omega_{1}=0, \quad I_{3} \dot{\omega}_{3}=0
em que \beta=\left(I_{3}-I_{1}\right) / I_{1}. Para resolver as duas primeiras equações (67), suponha que as soluções tenham a forma \omega_{1}=A_{1} e^{p t} e \omega_{2}=A_{2} e^{p t}. Mostre que
p= \pm i \beta \omega_{3}, \quad A_{2}=\mp i A_{1}
Essas soluções podem ser superpostas com constantes arbitrárias multiplicativas complexas para formar soluções reais. Faça A_{1}=1. Mostre que
\omega_{1}=A \cos \left(\beta \omega_{3} t+\theta\right), \quad \omega_{2}=A \sin \left(\beta \omega_{3} t+\theta\right)
Esse resultado indica que a precessão do vetor velocidade \vec{\omega} será um círculo de raio A em torno do eixo \hat{e}_{3} com velocidade angular \beta \omega_{3}, e terá o mesmo sentido de \omega_{3} se \beta>0 ou terá o sentido oposto de \omega_{3} se \beta<0. Mostre que o módulo de \vec{\omega} será
\omega=\left(\omega_{3}^{2}+A^{2}\right)^{1 / 2}
A, \theta e \omega_{3} são constantes arbitrárias, determinadas a partir das condições iniciais. Existem 3 constantes visto que as equações de Euler são 3 equações diferenciais de primeira ordem. Entretanto, corpos rígidos que giram sem vínculos tem 3 graus de liberdade de translação e 3 graus de liberdade de rotação. Assim, esperaríamos um total de 6 constantes arbitrárias para serem determinadas a partir das condições iniciais. Quais são as outras 3?

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, para um corpo rígido livre de torques e simétrico em torno do eixo \hat{e}_{3} (ou seja, I_{1}=I_{2}), que as equações de Euler podem ser escritas como
\dot{\omega}_{1}+\beta \omega_{3} \omega_{2}=0,\quad \dot{\omega}_{2}-\beta \omega_{3} \omega_{1}=0,\quad I_{3}\dot{\omega}_{3}=0,
com \beta=\left(I_{3}-I_{1}\right)/I_{1}. Em seguida pede-se resolver as duas primeiras equações assumindo soluções do tipo \omega_{1}=A_{1}e^{pt} e \omega_{2}=A_{2}e^{pt} e mostrar que
p=\pm i\beta\omega_{3},\quad A_{2}=\mp i A_{1}.
Depois pede-se montar soluções reais (fazendo A_{1}=1) e mostrar que
\omega_{1}=A\cos\!\big(\beta\omega_{3}t+\theta\big),\quad \omega_{2}=A\sin\!\big(\beta\omega_{3}t+\theta\big),
mostrar que o módulo de \vec{\omega} é \omega=\big(\omega_{3}^{2}+A^{2}\big)^{1/2}, e explicar quais são as outras 3 constantes arbitrárias que completam as 6 constantes esperadas para um corpo livre (3 de rotação + 3 de translação). As informações relevantes dadas: corpo livre (sem torque), simetria I_{1}=I_{2}, e as equações de Euler originais devem ser usadas para deduzir a forma pedida.

Passo 2

Apresento a fórmula de Euler para um corpo rígido no referencial do corpo (base ligada ao corpo). A lei geral de Euler, no caso sem torque externo, pode ser escrita como (em componente i):
\frac{d}{dt}\big(L_{i}\big)+\sum_{jk}\epsilon_{ijk}\,\omega_{j}L_{k}=0,
onde L_{i} são as componentes do momento angular no referencial do corpo, \omega_{i} são as componentes da velocidade angular nesse referencial, \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita, e para um corpo principal de inércia diagonal temos L_{i}=I_{i}\omega_{i} (sem soma em i). Escrevendo as três componentes explicitamente (forma usual das equações de Euler sem torques):
I_{1}\dot{\omega}_{1}=(I_{2}-I_{3})\omega_{2}\omega_{3},
I_{2}\dot{\omega}_{2}=(I_{3}-I_{1})\omega_{3}\omega_{1},
I_{3}\dot{\omega}_{3}=(I_{1}-I_{2})\omega_{1}\omega_{2}.
Essas expressões vêm diretamente de \dot{L}+\omega\times L=0 e da diagonalização do tensor de inércia.

Passo 3

Agora usamos a simetria I_{1}=I_{2}. Substituindo em cada equação:
  • Na primeira: I_{1}\dot{\omega}_{1}=(I_{1}-I_{3})\omega_{2}\omega_{3}. Dividindo por I_{1} obtemos
\dot{\omega}_{1}=\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{1}}\;\omega_{2}\omega_{3}=-\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}\;\omega_{2}\omega_{3}.
Definindo \beta=\dfrac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}} temos
\dot{\omega}_{1}+\beta\omega_{3}\omega_{2}=0.
  • Na segunda: I_{1}\dot{\omega}_{2}=(I_{3}-I_{1})\omega_{3}\omega_{1}. Dividindo por I_{1}
\dot{\omega}_{2}=\beta\omega_{3}\omega_{1},
ou seja
\dot{\omega}_{2}-\beta\omega_{3}\omega_{1}=0.
  • Na terceira: I_{3}\dot{\omega}_{3}=(I_{1}-I_{1})\omega_{1}\omega_{2}=0, logo
I_{3}\dot{\omega}_{3}=0\quad\Rightarrow\quad \dot{\omega}_{3}=0.
Assim obtemos exatamente o sistema pedido:
\dot{\omega}_{1}+\beta\omega_{3}\omega_{2}=0,\quad \dot{\omega}_{2}-\beta\omega_{3}\omega_{1}=0,\quad I_{3}\dot{\omega}_{3}=0.

Passo 4

Resolvemos as duas primeiras equações usando o ansatz exponencial. Suponha
\omega_{1}(t)=A_{1}e^{pt},\quad \omega_{2}(t)=A_{2}e^{pt},
onde A_{1},A_{2}\) são constantes (possivelmente complexas) e \(p\) é o parâmetro a determinar. Como \(\omega_{3}\) é constante (de \(I_{3}\dot{\omega}_{3}=0\)), trata-se de uma constante conhecida no processo de solução. Substituindo na primeira equação: \[pA_{1}e^{pt}+\beta\omega_{3}A_{2}e^{pt}=0 \quad\Rightarrow\quad pA_{1}+\beta\omega_{3}A_{2}=0.
Da segunda:
pA_{2}e^{pt}-\beta\omega_{3}A_{1}e^{pt}=0 \quad\Rightarrow\quad pA_{2}-\beta\omega_{3}A_{1}=0.
Escrevemos o sistema linear para A_{1},A_{2}:
\begin{cases} pA_{1}+\beta\omega_{3}A_{2}=0,\\[4pt] -\beta\omega_{3}A_{1}+pA_{2}=0. \end{cases}
Para existir solução não trivial ((A_{1},A_{2})\neq(0,0)] o determinante da matriz deve ser zero:
\begin{vmatrix} p & \beta\omega_{3}\\[4pt] -\beta\omega_{3} & p \end{vmatrix}=p^{2}+\beta^{2}\omega_{3}^{2}=0.
Daí obtemos a equação característica
p^{2}+\beta^{2}\omega_{3}^{2}=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
p=\pm i\beta\omega_{3}.
Agora relacionamos A_{2} com A_{1}. Usando a primeira linha do sistema,
pA_{1}+\beta\omega_{3}A_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad A_{2}=-\frac{p}{\beta\omega_{3}}\,A_{1}.
Substituímos p=\pm i\beta\omega_{3}:
A_{2}=-\frac{\pm i\beta\omega_{3}}{\beta\omega_{3}}\,A_{1}=\mp i A_{1}.
Portanto mostramos que
p=\pm i\beta\omega_{3},\qquad A_{2}=\mp iA_{1},
como pedido.

Passo 6

Agora construímos soluções reais por superposição. As soluções complexas básicas são (escrevendo \alpha=\beta\omega_{3} para curtir a notação)
\mathbf{v}_{+}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-i\end{pmatrix}e^{i\alpha t},\qquad \mathbf{v}_{-}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]+i\end{pmatrix}e^{-i\alpha t},
correspondendo às escolhas A_{1}=1 e A_{2}=\mp i. Uma combinação linear complexa geral dá a solução real quando tomamos combinações apropriadas de partes reais e imaginárias. Em particular, se escolhermos coeficientes que produzam uma amplitude A e fase \theta, obtemos (após algebra elementar de somar exponenciais complexas e extrair parte real) as formas reais
\omega_{1}(t)=A\cos(\alpha t+\theta),\qquad \omega_{2}(t)=A\sin(\alpha t+\theta),
onde \alpha=\beta\omega_{3}. Aqui A e \theta são constantes determinadas pelas condições iniciais (surgem das combinações lineares das soluções complexas). Tomando A_{1}=1 no processo intermediário, ao combinar as duas soluções complexas com coeficientes complexos conjugados adequados chega-se exatamente nessas expressões.]

Passo 7

Calculamos o módulo de \vec{\omega}. Como \omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}=A^{2}\big(\cos^{2}+\sin^{2}\big)=A^{2} e \omega_{3} é constante, tem-se
\omega^{2}=\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}=A^{2}+\omega_{3}^{2}.
Portanto
\omega=\sqrt{\omega_{3}^{2}+A^{2}},
mostrando a relação pedida.

Passo 8

Comentário sobre as constantes arbitárias: as três constantes que aparecem na solução das equações de Euler são A, \theta e \omega_{3}. O enunciado observa que para um corpo rígido livre precisamos, no total, de 6 constantes arbitrárias (3 para rotação e 3 para translação). As “outras 3” constantes que faltam correspondem aos parâmetros da parte translacional do movimento: os componentes do momento linear (ou equivalentemente as três componentes da velocidade do centro de massa), que são constantes porque não há forças externas. Em termos práticos, as três constantes adicionais que completam as seis são as três componentes da velocidade do centro-de-massa (ou, se preferir, as três componentes do momento linear \vec{P}=m\vec{v}_{\text{CM}}), determinadas pelas condições iniciais de translação.

Resposta

\dot{\omega}_{1}+\beta\omega_{3}\omega_{2}=0,\quad \dot{\omega}_{2}-\beta\omega_{3}\omega_{1}=0,\quad I_{3}\dot{\omega}_{3}=0,\quad \beta=\dfrac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}}.
p=\pm i\beta\omega_{3},\quad A_{2}=\mp iA_{1}.
\omega_{1}=A\cos\!\big(\beta\omega_{3}t+\theta\big),\quad \omega_{2}=A\sin\!\big(\beta\omega_{3}t+\theta\big).
\omega=\sqrt{\omega_{3}^{2}+A^{2}}.
As outras três constantes são as três componentes da velocidade do centro de massa (ou equivalentemente as componentes do momento linear), constantes porque não há força externa.

Exercícios relacionados