Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado dá a função em pedaços
e pede para determinar se “cada integral” é convergente ou divergente e calcular as que forem convergentes. Vou analisar as integrais impróprias mais naturais associadas a essa função, que normalmente aparecem em prova:
-
, -
, -
, -
.
Também anotamos as informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
para todo com . - Para
, , que é um polinômio (logo contínuo). - Em
a definição de ambos os lados coincide (para temos ), então é contínua em toda a reta.]
Passo 2
Entender por que essas integrais improváveis são fáceis: como
para
, a função tem suporte compacto, ou seja, está concentrada no intervalo
. Isso simplifica todas as integrais sobre intervalos ilimitados porque os termos fora de
não contribuem. Em particular:
Explicando didaticamente: uma integral imprópria do tipo
é definida como
. Aqui, se
a contribuição de
é zero porque
ali; portanto a integral se reduz à integral no pedaço
, que é uma integral própria de função contínua — sempre finita. Mesma ideia para as outras.
Passo 3
Calcular a integral sobre todo o eixo: reduzimos para o intervalo
e usamos a expressão
nesse intervalo. Vamos calcular passo a passo:
Separe em duas integrais:
A primeira é simples:
A segunda usa simetria:
é função par, então
Calcule
pelo antiderivado
:
Logo
Voltando:
Portanto
e essa integral é convergente.
Passo 4
Calcular as integrais nas metades positiva e negativa usando a simetria do integrando. Como
é função par, os dois semieixos dão a mesma contribuição. Vamos fazer explicitamente
:
Calcule por antiderivada:
Pelo mesmo raciocínio,
Confirmação rápida:
, consistente com a integral total.
Passo 5
Integral do valor absoluto: observe que para
tem-se
e para
temos
. Portanto
para todo
, isto é,
. Assim
logo a integral absoluta também converge (e a função é integrável no sentido de Lebesgue e Riemann improprio).
Passo 6
Resumo didático e motivação para a prova: quando uma função tem suporte compacto (ou seja, é nula fora de um intervalo finito), qualquer integral sobre uma reta inteira ou semirreta reduz a uma integral própria sobre um intervalo finito; isso garante imediatamente convergência. No caso de polinômios (ou funções contínuas) em intervalo finito, calculamos por antiderivada. Esse é um padrão que sempre vale a pena lembrar — identifica problemas que parecem “impróprios” mas na prática são fáceis.