Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
f(t)= \begin{cases}0 & \text { se }|t|>1 \\ 1-t^{2} & \text { se }|t| \leqslant 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função em pedaços
f(t)=\begin{cases} 0 & \text{se }|t|>1,\\[4pt] 1-t^{2} & \text{se }|t|\leqslant 1, \end{cases}
e pede para determinar se “cada integral” é convergente ou divergente e calcular as que forem convergentes. Vou analisar as integrais impróprias mais naturais associadas a essa função, que normalmente aparecem em prova:
  • \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt,
  • \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(t)\,dt,
  • \displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt,
  • \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt.
Também anotamos as informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • f(t)=0 para todo t com |t|>1.
  • Para |t|\leqslant 1, f(t)=1-t^{2}, que é um polinômio (logo contínuo).
  • Em t=\pm1 a definição de ambos os lados coincide (para |t|=1 temos 1-t^2=0), então f é contínua em toda a reta.]

Passo 2

Entender por que essas integrais improváveis são fáceis: como f(t)=0 para |t|>1, a função tem suporte compacto, ou seja, está concentrada no intervalo [-1,1]. Isso simplifica todas as integrais sobre intervalos ilimitados porque os termos fora de [-1,1] não contribuem. Em particular:
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = \int_{-1}^{1} f(t)\,dt,
\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,
\int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt = \int_{-1}^{0} f(t)\,dt.
Explicando didaticamente: uma integral imprópria do tipo \int_{0}^{\infty} f é definida como \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f. Aqui, se R>1 a contribuição de (1,R] é zero porque f\equiv0 ali; portanto a integral se reduz à integral no pedaço [0,1], que é uma integral própria de função contínua — sempre finita. Mesma ideia para as outras.

Passo 3

Calcular a integral sobre todo o eixo: reduzimos para o intervalo [-1,1] e usamos a expressão f(t)=1-t^{2} nesse intervalo. Vamos calcular passo a passo:
\int_{-1}^{1} (1-t^{2})\,dt
Separe em duas integrais:
\int_{-1}^{1} 1\,dt - \int_{-1}^{1} t^{2}\,dt.
A primeira é simples:
\int_{-1}^{1} 1\,dt = [t]_{-1}^{1} = 1-(-1) = 2.
A segunda usa simetria: t^{2} é função par, então
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = 2\int_{0}^{1} t^{2}\,dt.
Calcule \int_{0}^{1} t^{2}\,dt pelo antiderivado t^{3}/3:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}-0 = \frac{1}{3}.
Logo
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Voltando:
\int_{-1}^{1} (1-t^{2})\,dt = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3}-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = \frac{4}{3} e essa integral é convergente.

Passo 4

Calcular as integrais nas metades positiva e negativa usando a simetria do integrando. Como 1-t^{2} é função par, os dois semieixos dão a mesma contribuição. Vamos fazer explicitamente \int_{0}^{\infty} f(t)\,dt:
\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt = \int_{0}^{1} (1-t^{2})\,dt
Calcule por antiderivada:
\int_{0}^{1} (1-t^{2})\,dt = \left[t - \frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1-\frac{1}{3}\right)-0 = \frac{2}{3}.
Pelo mesmo raciocínio,
\int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt = \int_{-1}^{0} (1-t^{2})\,dt = \frac{2}{3}.
Confirmação rápida: \frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, consistente com a integral total.

Passo 5

Integral do valor absoluto: observe que para |t|\leqslant 1 tem-se 1-t^{2}\geqslant 0 e para |t|>1 temos f(t)=0. Portanto f(t)\geqslant 0 para todo t, isto é, |f(t)|=f(t). Assim
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = \frac{4}{3},
logo a integral absoluta também converge (e a função é integrável no sentido de Lebesgue e Riemann improprio).

Passo 6

Resumo didático e motivação para a prova: quando uma função tem suporte compacto (ou seja, é nula fora de um intervalo finito), qualquer integral sobre uma reta inteira ou semirreta reduz a uma integral própria sobre um intervalo finito; isso garante imediatamente convergência. No caso de polinômios (ou funções contínuas) em intervalo finito, calculamos por antiderivada. Esse é um padrão que sempre vale a pena lembrar — identifica problemas que parecem “impróprios” mas na prática são fáceis.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt = \frac{4}{3} (convergente)
\displaystyle \int_{0}^{\infty} f(t)\,dt = \frac{2}{3} (convergente)
\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(t)\,dt = \frac{2}{3} (convergente)
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt = \frac{4}{3} (convergente)

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