(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de sm(x) em função de x para m=5,10 e 20.
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
lrx+2, & -2 <= x<0, 2-2 x, & 0 <= x<2 ;

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 4, definida por partes em [–2,2):
• para –2≤x<0, f(x)=x+2
• para 0≤x<2, f(x)=2–2x
Vamos: (a) desenhar três períodos, (b) achar a série de Fourier, © esboçar somas parciais sₘ para m=5,10,20 e (d) descrever a convergência.

Passo 2

Para esboçar o gráfico em três períodos, notamos que em [–2,0] f(x)=x+2 é uma reta subindo de f(–2)=0 até f(0)=2, e em [0,2] f(x)=2–2x é uma reta decrescente de f(0)=2 até f(2)=–2. Repete-se esse triângulo de base 4 (de –2 a 2) deslocando-o de 4 em 4 unidades.

Passo 3

Para obter a série de Fourier de período T=4 usamos ω₀=π/2 e calculamos
A0=14integral-2^2f(x),dx=12
Os coeficientes gerais são
An=12integral-2^2f(x)cosl(tfracnpi x2r)dx=6n^2pi^2l[1-(-1)^nr],
Bn=12integral-2^2f(x)sinl(tfracnpi x2r)dx=2(-1)^nnpi
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f(x)=12+sumn=1^inftyl[6n^2pi^2l(1-(-1)^nr)cosl(tfracnpi x2r)+2(-1)^nnpisinl(tfracnpi x2r)r]

Passo 4

Para desenhar as somas parciais s₅, s₁₀ e s₂₀, basta truncar a série acima em n=5,10,20 e plotar. Observa-se que quanto maior m, mais o gráfico se aproxima do triângulo original, embora apareça pequeno overshoot (fenômeno de Gibbs) nos pontos de descontinuidade periódica.

Passo 5

A série converge ponto a ponto para f(x) em todos os x de continuidade. Nos pontos de salto (x=2+4k) converge ao valor médio dos limites laterais. Em intervalos afastados das descontinuidades a convergência é praticamente uniforme, e vemos os pequenos ripples (overshoot) diminuir de largura conforme m cresce.

Resposta

A série de Fourier fica
f(x)=12+sumn=1^inftyl[6n^2pi^2l(1-(-1)^nr)cosl(tfracnpi x2r)+2(-1)^nnpisinl(tfracnpi x2r)r]

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