(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de
em função de
para
e 20.
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
Passo 1
O exercício pede para trabalhar com a extensão periódica de período 4 de uma função dada por pedaços em [-2,2], esboçar seu gráfico, obter sua série de Fourier, plotar algumas somas parciais e discutir a convergência. A estratégia é: 1) lembrar que, para período 4, usamos L=2 e as fórmulas padrão
[a_0=\frac1{2L}\int_{-L}^{L}f(x),dx,
\quad a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx,
\quad b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx.
]
2) Como f é definida por dois trechos (de -2 a 0 e de 0 a 2), fazemos cada integral em partes.
\quad a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx,
\quad b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx.
]
2) Como f é definida por dois trechos (de -2 a 0 e de 0 a 2), fazemos cada integral em partes.
Passo 2
Calculamos primeiro o termo constante:
logo
Passo 3
Para os coeficientes a_n e b_n, montamos as integrais:
Passo 4
Assim a série de Fourier fica
Passo 5
Para (a) basta repetir o trecho de -2 a 2 três vezes no eixo x: de -6 a 6, traçando a reta
em [-2,0] e o arco
em [0,2], e depois deslocar periodicamente.
Para © computa-se as somas parciais
Para © computa-se as somas parciais
$$s_m(x)=\frac{11}{12}+\sum_{n=1}^{m}\Bigl[\cdots\Bigr]
$$
com e plota-se em [-2,2]. Veremos que, à medida que
cresce, o gráfico se aproxima do traçado original, com oscilações menores.
Em (d) observamos que a série converge para em todos os pontos de continuidade, e nos pontos de descontinuidade (em
) converge para o valor médio dos dois lados. Há um pequeno efeito de Gibbs nos saltos, e a convergência é rápida (
) nas partes suaves.
com
Em (d) observamos que a série converge para
Resposta
(a) Gráfico da extensão periódica em três períodos (de -6 a 6) repetindo em cada intervalo de comprimento 4 o traçado em [-2,2] dado por f(x)=-x/2 em [-2,0] e f(x)=2x-x²/2 em [0,2].
(b) Série de Fourier:
© As somas parciais s_m(x) para m=5,10,20 são obtidas cortando a soma acima em n=m e plotando em [-2,2]. Quanto maior m, mais próximo do f original.
(d) A série converge pontualmente para f(x) nos pontos contínuos, para a média dos limites laterais nos saltos e exibe ligeiro Gibbs próximo às descontinuidades. A convergência é rápida (coeficientes decaem ~1/n²).