(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de sm(x) em função de x para m=5,10 e 20.
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
lr-12 x, & -2 <= x<0, 2 x-12 x^2, & 0 <= x<2 ;

Passo 1

O exercício pede para trabalhar com a extensão periódica de período 4 de uma função dada por pedaços em [-2,2], esboçar seu gráfico, obter sua série de Fourier, plotar algumas somas parciais e discutir a convergência. A estratégia é: 1) lembrar que, para período 4, usamos L=2 e as fórmulas padrão
[a_0=\frac1{2L}\int_{-L}^{L}f(x),dx,
\quad a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx,
\quad b_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx.
]
2) Como f é definida por dois trechos (de -2 a 0 e de 0 a 2), fazemos cada integral em partes.

Passo 2

Calculamos primeiro o termo constante:
integral-2^0l(-tfrac x2r)dx=1, integral0^2l(2x-tfracx^22r)dx=tfrac83,
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a0=14l(1+tfrac83r)=1112

Passo 3

Para os coeficientes a_n e b_n, montamos as integrais:
an=12l(integral-2^0l(-tfrac x2r)costfracnpi x2dx+integral0^2l(2x-tfracx^22r)costfracnpi x2dxr),
bn=12l(integral-2^0l(-tfrac x2r)sintfracnpi x2dx+integral0^2l(2x-tfracx^22r)sintfracnpi x2dxr) Depois de aplicar integração por partes e usar sin(npi)=0, cos(npi)=(-1)^n, obtemos:
an=(-1)^n-5n^2pi^2, bn=4-(-1)^nl(n^2pi^2+4r)n^3pi^3

Passo 4

Assim a série de Fourier fica
f(x)=1112+sumn=1^inftyl[(-1)^n-5n^2pi^2cosl(tfracnpi x2r)+4-(-1)^n(n^2pi^2+4)n^3pi^3sinl(tfracnpi x2r)r]

Passo 5

Para (a) basta repetir o trecho de -2 a 2 três vezes no eixo x: de -6 a 6, traçando a reta f(x)=-x/2 em [-2,0] e o arco f(x)=2x-x^2/2 em [0,2], e depois deslocar periodicamente.
Para © computa-se as somas parciais
$$s_m(x)=\frac{11}{12}+\sum_{n=1}^{m}\Bigl[\cdots\Bigr]
$$
com sm(x)=1112+sumn=1^ml[cdotsr] e plota-se em [-2,2]. Veremos que, à medida que m=5,10,20 cresce, o gráfico se aproxima do traçado original, com oscilações menores.
Em (d) observamos que a série converge para m em todos os pontos de continuidade, e nos pontos de descontinuidade (em f(x)) converge para o valor médio dos dois lados. Há um pequeno efeito de Gibbs nos saltos, e a convergência é rápida ( x=2+4k) nas partes suaves.

Resposta

(a) Gráfico da extensão periódica em três períodos (de -6 a 6) repetindo em cada intervalo de comprimento 4 o traçado em [-2,2] dado por f(x)=-x/2 em [-2,0] e f(x)=2x-x²/2 em [0,2].
(b) Série de Fourier:
f(x)=1112+sumn=1^inftygl[(-1)^n-5n^2pi^2cosl(npi x2r)+4-(-1)^nl(n^2pi^2+4r)n^3pi^3sinl(npi x2r)gr]
© As somas parciais s_m(x) para m=5,10,20 são obtidas cortando a soma acima em n=m e plotando em [-2,2]. Quanto maior m, mais próximo do f original.
(d) A série converge pontualmente para f(x) nos pontos contínuos, para a média dos limites laterais nos saltos e exibe ligeiro Gibbs próximo às descontinuidades. A convergência é rápida (coeficientes decaem ~1/n²).

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