(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de sm(x) em função de x para m=5,10 e 20.
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
lr0, & -3 <= x <= 0, x^2(3-x), & 0

Passo 1

Beleza, vamos de boa: a função é periódica de período 6 e vale
f(x)= 0, & -3<= x<=0, x^2(3-x),&0
O assunto é Série de Fourier de função periódica. Pra resolver a gente vai precisar de:
  1. entender como esboçar a função em três períodos;
  2. usar as fórmulas de coeficientes a0,;an,;bn para período T=6 (ou seja, “meio-período” L=3);
    3) aplicar integração por partes (ou alguma tabela) para achar esses coeficientes;
    4) montar a soma parcial sm(x)=a0+sumn=1^ml(ancosnpi x3+bnsinnpi x3r) e esboçar para m=5,10,20;
  3. falar como a série converge.

Passo 2

  1. No intervalo [-3,0] a função é zero, então fica na linha do eixo.
  2. Em [0,3] a gente desenha a curva y=x^2(3-x) (uma cúbica que nasce em (0,0), cresce até um pico e cai em (3,0)).
  3. Pra fazer três períodos, copia esse “bloco” em [-3,3], depois desloca pra direita e pra esquerda mais uma vez, isto é, repete em [3,9] e em [-9,-3].

Passo 3

Como o período é T=6, os coeficientes são dados por
a0=16integral-3^3f(x),dx, an=13integral-3^3f(x)cosnpi x3,dx, bn=13integral-3^3f(x)sinnpi x3,dx
Mas f(x)=0 em [-3,0], então dá pra trocar integral de -3 a 3 por integral de 0 a 3.
  1. Cálculo de a0:
integral0^3x^2(3-x),dx =integral0^3(3x^2-x^3),dx =l[x^3-tfracx^44r]0^3 =27-tfrac814 =tfrac274
Então
a0=16cdot274=2724=98
  1. Cálculo de an e bn:
  • A gente define alphan=npi3.
  • Usa integração por partes repetidas em integral0^3(3x^2-x^3)cos(alphan x),dx e integral0^3(3x^2-x^3)sin(alphan x),dx
Depois de fazer com calma (três integrações por partes em cada), chega-se ao resultado fechado
an =;(-1)^nl(18n^2pi^2-1458n^4pi^4r), bn =;(-1)^nl(-54n^3pi^3+486n^5pi^5r)
Portanto a Série de Fourier fica
f(x) =98 +sumn=1^inftyl[ (-1)^nl(tfrac18n^2pi^2-tfrac1458n^4pi^4r)cosnpi x3 ;+; (-1)^nl(-tfrac54n^3pi^3+tfrac486n^5pi^5r)sinnpi x3 r]

Passo 4

Se você plotar
sm(x)=98 +sumn=1^ml[ancosnpi x3+bnsinnpi x3r]
em um software (por ex. Python/Matplotlib, Octave ou GeoGebra), vai ver que:
  • Para m=5, a curva já tenta seguir o formato da cúbica de 0 a 3, mas ainda “tremendo” um pouco;
  • Para m=10, fica mais suave e mais próxima da x^2(3-x) em [0,3];
  • Para m=20, praticamente casa bem com o original, tanto em [0,3] quanto a linha zero em [-3,0].

Passo 5

Como a função estendida é contínua e tem derivadas limitadas em cada “pedaço”, a Série de Fourier converge uniformemente a f(x) em todo lugar. Não há saltos, então não aparece efeito Gibbs. A medida que m cresce, sm(x) se aproxima cada vez mais do gráfico original.

Resposta

A série de Fourier de
f(x)= 0,&-3<= x<=0, x^2(3-x),&0
é
f(x) =98 +sumn=1^infty(-1)^nl[ l(tfrac18n^2pi^2-tfrac1458n^4pi^4r)costfracnpi x3 +l(-tfrac54n^3pi^3+tfrac486n^5pi^5r)sintfracnpi x3 r],
o esboço de três períodos tem trecho zero em cada [-3+6k,0+6k] e cúbica em [0+6k,3+6k]. As somas parciais sm(x) para m=5,10,20 vão aproximando cada vez melhor o gráfico (sem Gibbs) e a série converge uniformemente a f(x),.

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