(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de
em função de
para
e 20.
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
© Faça o gráfico de
(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.
Passo 1
Beleza, vamos de boa: a função é periódica de período
e vale
O assunto é Série de Fourier de função periódica. Pra resolver a gente vai precisar de:
- entender como esboçar a função em três períodos;
- usar as fórmulas de coeficientes
para período (ou seja, “meio-período” );
3) aplicar integração por partes (ou alguma tabela) para achar esses coeficientes;
4) montar a soma parciale esboçar para ; - falar como a série converge.
Passo 2
- No intervalo
a função é zero, então fica na linha do eixo. - Em
a gente desenha a curva (uma cúbica que nasce em , cresce até um pico e cai em ). - Pra fazer três períodos, copia esse “bloco” em
, depois desloca pra direita e pra esquerda mais uma vez, isto é, repete em e em .
Passo 3
Como o período é
, os coeficientes são dados por
Mas
em
, então dá pra trocar integral de
a
por integral de
a
.
- Cálculo de
:
Então
- Cálculo de
e :
- A gente define
. - Usa integração por partes repetidas em
Depois de fazer com calma (três integrações por partes em cada), chega-se ao resultado fechado
Portanto a Série de Fourier fica
Passo 4
Se você plotar
em um software (por ex. Python/Matplotlib, Octave ou GeoGebra), vai ver que:
- Para
, a curva já tenta seguir o formato da cúbica de a , mas ainda “tremendo” um pouco; - Para
, fica mais suave e mais próxima da em ; - Para
, praticamente casa bem com o original, tanto em quanto a linha zero em .
Passo 5
Como a função estendida é contínua e tem derivadas limitadas em cada “pedaço”, a Série de Fourier converge uniformemente a
em todo lugar. Não há saltos, então não aparece efeito Gibbs. A medida que
cresce,
se aproxima cada vez mais do gráfico original.
Resposta
A série de Fourier de
é
o esboço de três períodos tem trecho zero em cada
e cúbica em
. As somas parciais
para
vão aproximando cada vez melhor o gráfico (sem Gibbs) e a série converge uniformemente a
.