Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
.
Passo 1
O enunciado pede para a função de duas variáveis
: domínio, imagem, curvas de nível e esboço do gráfico. O conteúdo pertence a superfícies de funções de duas variáveis e níveis, e vamos usar conceitos de domínio, imagem, equação de nível e noções de geometria de superfícies.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que
está bem definida para todo par
. Logo o domínio é
Para a imagem, como podemos fazer
Passo 3
As curvas de nível vêm da equação
onde
Passo 4
Classificando conforme
:
- Para
, temos hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo , pois implica . - Para
, dá hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo , pois implica . - Para
, a curva de nível é a união das retas
Passo 5
O esboço do gráfico é a famosa superfície em sela: ao longo da direção do eixo
a superfície sobe formando um crista, e ao longo do eixo
desce formando um vale. No ponto
há um ponto de sela onde muda a curvatura.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Curvas de nível:
são hipérboles – para
ramos ao longo do eixo x, para
ramos ao longo do eixo y, e para
as retas
. Gráfico: sela com crista no eixo x e vale no eixo y.