Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
f(x, y)=x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis f(x,y)=x^2-y^2: domínio, imagem, curvas de nível e esboço do gráfico. O conteúdo pertence a superfícies de funções de duas variáveis e níveis, e vamos usar conceitos de domínio, imagem, equação de nível e noções de geometria de superfícies.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que x^2-y^2 está bem definida para todo par (x,y)inR^2. Logo o domínio é
R^2
Para a imagem, como podemos fazer x^2 crescer indefinidamente e -y^2 decrescer indefinidamente, a diferença também atinge todo valor real. Assim a imagem é
R

Passo 3

As curvas de nível vêm da equação
x^2-y^2=c,
onde c é um real fixo. Essa é a equação geral de hipérboles (ou retas, se c=0).

Passo 4

Classificando conforme c:
  • Para c>0, temos hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo x, pois x^2-y^2=c>0 implica x^2>y^2.
  • Para c<0, dá hipérboles com ramos abertos ao longo do eixo y, pois x^2-y^2=c<0 implica y^2>x^2.
  • Para c=0, a curva de nível é a união das retas
y=xe y=-x

Passo 5

O esboço do gráfico é a famosa superfície em sela: ao longo da direção do eixo x a superfície sobe formando um crista, e ao longo do eixo y desce formando um vale. No ponto (0,0,0) há um ponto de sela onde muda a curvatura.

Resposta

Domínio: R^2. Imagem: R. Curvas de nível: x^2-y^2=c são hipérboles – para c>0 ramos ao longo do eixo x, para c<0 ramos ao longo do eixo y, e para c=0 as retas y=pm x. Gráfico: sela com crista no eixo x e vale no eixo y.

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