Esboce o gráfico da função dada por três períodos, em seguida encontre a série de Fourier de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que se repete a cada 4 unidades, ou seja, tem período 4. Depois, precisamos encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções complexas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é essa função. Ela é definida de duas maneiras no intervalo de -2 a 2:
- De -2 a 0, a função é $ f(x) = x + 2 $
- De 0 a 2, a função é $ f(x) = 2 - 2x $
E essa função se repete a cada 4 unidades, ou seja, $ f(x + 4) = f(x) $.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função em três períodos, ou seja, de -2 a 2, de 2 a 6 e de 6 a 10.
- De -2 a 0: $ f(x) = x + 2 $ é uma linha reta que começa em ( -2, 0 ) e vai até (0, 2).
- De 0 a 2: $ f(x) = 2 - 2x $ é outra linha reta que começa em (0, 2) e vai até (2, -2).
- Repetindo esse padrão a cada 4 unidades, temos os próximos períodos.
Passo 4
Agora vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período $ T = 4 $ é dada por:
Onde:
- $ a_0 $ é a média da função no período
- $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes que determinam a contribuição dos cossenos e senos
Passo 5
Vamos calcular $ a_0 $:
Dividimos a integral em duas partes:
Calculando:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
Devido à simetria da função em relação ao eixo y, sabemos que $ a_n = 0 $ para todos os $ n $, já que a função é ímpar.
Passo 7
Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
Dividimos a integral:
Após calcular essas integrais (que envolvem integração por partes), encontramos:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ na fórmula da série de Fourier:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier da função dada é: