Esboce o gráfico da função dada por três períodos, em seguida encontre a série de Fourier de f(x)=cx+2, -2 <= x<0 2-2 x, 0 <= x<2, f(x+4)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que se repete a cada 4 unidades, ou seja, tem período 4. Depois, precisamos encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções complexas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é essa função. Ela é definida de duas maneiras no intervalo de -2 a 2:
  • De -2 a 0, a função é $ f(x) = x + 2 $
  • De 0 a 2, a função é $ f(x) = 2 - 2x $
    E essa função se repete a cada 4 unidades, ou seja, $ f(x + 4) = f(x) $.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função em três períodos, ou seja, de -2 a 2, de 2 a 6 e de 6 a 10.
  1. De -2 a 0: $ f(x) = x + 2 $ é uma linha reta que começa em ( -2, 0 ) e vai até (0, 2).
  2. De 0 a 2: $ f(x) = 2 - 2x $ é outra linha reta que começa em (0, 2) e vai até (2, -2).
  3. Repetindo esse padrão a cada 4 unidades, temos os próximos períodos.

Passo 4

Agora vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período $ T = 4 $ é dada por:
T = 4
Onde:
  • $ a_0 $ é a média da função no período
  • $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes que determinam a contribuição dos cossenos e senos

Passo 5

Vamos calcular $ a_0 $:
a0
Dividimos a integral em duas partes:
a0 = 12 integral-2^2 f(x) , dx
Calculando:
a0 = 12 ( integral-2^0 (x + 2) , dx + integral0^2 (2 - 2x) , dx )
integral-2^0 (x + 2) , dx = x^22 + 2x |-2^0 = (0 + 0) - (2 + (-4)) = 2
Então:
integral0^2 (2 - 2x) , dx = 2x - x^2 |0^2 = (4 - 4) - (0 - 0) = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
an
Devido à simetria da função em relação ao eixo y, sabemos que $ a_n = 0 $ para todos os $ n $, já que a função é ímpar.

Passo 7

Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
bn
Dividimos a integral:
bn = 12 integral-2^2 f(x) sin(npi x2) , dx
Após calcular essas integrais (que envolvem integração por partes), encontramos:
bn = 12 ( integral-2^0 (x + 2) sin(npi x2) , dx + integral0^2 (2 - 2x) sin(npi x2) , dx )

Passo 8

Finalmente, substituímos $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ na fórmula da série de Fourier:
a0
Simplificando:
an

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
f(x) = 12 + 8pi ( sin(pi x2) + 13 sin(3pi x2) + 15 sin(5pi x2) + cdots )

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