Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow d^{+}} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x) f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{1}{2-3 x} & \text { se } & x<-3 \\\\ \sqrt{x+2} & \text { se } & x \geq-3\end{array} \quad a=-3\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (notando um pequeno detalhe sobre o enunciado).
As perguntas pedem os limites:
(a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(b) \displaystyle \lim_{x\to d^{+}} f(x),
(c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
Observação importante sobre a notação: a letra d em (b) não foi definida no enunciado. Como o padrão de exercícios desse tipo é pedir os limites laterais e o limite total em torno de a, vou interpretar d como sendo a (ou seja, tratar (b) como \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)). Estou escolhendo essa interpretação porque é a única que faz sentido com as demais partes do enunciado e com o valor dado a=-3. Seguirei com essa interpretação sem perguntar nada a mais.
Outra observação sobre domínio (essa é crucial para saber se os limites existem): a expressão \sqrt{x+2} é uma raiz quadrada real, logo ela está definida (em números reais) somente quando
x+2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -2.
Portanto, embora a definição da função diga \sqrt{x+2} para x\ge -3, a expressão real \sqrt{x+2} só tem valores reais quando x\ge -2. Isso cria um “intervalo vazio” de definição (em [-3,-2)) do lado direito de a=-3 — vou usar isso para concluir sobre o limite pela direita.]
Passo 2
Conceito prático que vamos usar (explicadinho): a definição intuitiva de limite lateral.
A notação \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) significa que olhamos em valores de x menores que a (à esquerda de a) e que se aproximam arbitrariamente de a. Para calcular esse limite, usamos a expressão da função válida para x<a.
A notação \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x) significa que olhamos para valores de x maiores que a (à direita) que se aproximam arbitrariamente de a; para que esse limite exista é preciso que haja valores de x na definição da função arbitrariamente próximos de a pela direita.
Agora vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) com a=-3.
Para x<a (isto é, x<-3), a função é dada por f(x)=\dfrac{1}{2-3x}.
A função racional \dfrac{1}{2-3x} é contínua em qualquer ponto onde o denominador não é zero. Em x=-3 o denominador vale 2-3(-3)=2+9=11\neq 0. Logo podemos avaliar o limite pela substituição direta.
Calculemos:
Explicação do porquê a substituição direta é válida: quando uma função é dada por uma expressão algébrica (polinômio, razão de polinômios, etc.) que é definida num entorno do ponto (à esquerda aqui) e é contínua nesse entorno, o limite é simplesmente o valor da expressão quando x tende ao ponto. Como o denominador não se anula em x=-3, não há problema.
Passo 4
Análise do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x) com a=-3.
Para x\ge -3 a definição formal da função é f(x)=\sqrt{x+2}. Porém, como já notei no Passo 1, a raiz quadrada real \sqrt{x+2} só está definida para x\ge -2.
Para existir \displaystyle \lim_{x\to -3^{+}} f(x) precisamos de pontos x>-3 pertencentes ao domínio de f que possam ser escolhidos arbitrariamente próximos de -3. Mas o menor ponto do domínio à direita é x=-2, que está a distância 1 de -3. Ou seja, não existem pontos do domínio no intervalo (-3, -2); não há uma sequência de pontos x_n>-3 com x_n\to -3 tal que f(x_n) esteja definida como número real.
Portanto, pela direita não existem valores de f(x) arbitrariamente próximos de a, e a definição de limite lateral pela direita (em valores reais) não pode ser satisfeita. Conclusão: o limite pela direita não existe (no conjunto dos números reais).
Observação suplementar (didática): se estivéssemos trabalhando com números complexos poderíamos falar de valores complexos para \sqrt{x+2} quando x<-2, mas em cálculo real isso não é considerado; aqui tratamos limites reais, então dizemos que o limite lateral da direita não existe.
Passo 5
Conclusão sobre o limite total \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
Para que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^{-}} f(x)=\lim_{x\to a^{+}} f(x).
Já calculamos \displaystyle \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=\dfrac{1}{11}.
Contudo \displaystyle \lim_{x\to -3^{+}} f(x) não existe (não há pontos do domínio arbitrariamente próximos por x>-3).
Como o limite pela direita não existe, o limite total \displaystyle \lim_{x\to -3} f(x) também não existe.
Observação final e incentivo: dá um pouco de trabalho perceber esse detalhe do domínio da raiz, mas é exatamente esse tipo de pegadinha que costuma aparecer na prova — você está indo bem por notar a diferença entre a definição formal e a validade da expressão. Força que já é metade da batalha!