Precisamos esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem Im(f). Vamos usar o comportamento da função exponencial e de funções constantes.
Passo 2
Para x<0, temos f(x)=2^x. Sabemos que a exponencial decresce quando x aumenta nesse intervalo, que
limxto -infty2^x = 0 e limxto0^-2^x = 1
Como x=0 não está incluído, no ponto (0,1) marcamos um círculo aberto.
Passo 3
Em x=0, a função vale exatamente -2, ou seja, há um ponto isolado em (0,-2) marcado com ponto fechado.
Passo 4
Para x>0, f(x)=tfrac12 é uma reta horizontal em y=tfrac12. Como o ramo vale isso só para x>0, em l(0,tfrac12r) temos um círculo aberto, e para x>0 a linha é sólida.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico é:
– para x<0, a curva y=2^x que vai de 0 (assintótico) até 1 (não incluído);
– em (0,1) círculo aberto;
– em (0,-2) ponto fechado;
– para x>0, linha horizontal em y=tfrac12 com abertura em (0,tfrac12.
Passo 6
O conjunto imagem é a união dos valores que a função atinge em cada ramo:
– de 2^x para x<0 vem o intervalo (0,1);
– em x=0 vem o valor -2;
– em x>0 vem o valor tfrac12, que já está em (0,1).
Logo,
Im(f) = (0,1),cup,-2
Resposta
Esboço do gráfico conforme descrito acima.
Conjunto imagem: