Esboce o gráfico da função e determine o conjunto
;
Passo 1
O enunciado define a função por partes:
Queremos esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem
. Para isso, vamos estudar cada ramo separadamente: domínio, comportamento nos extremos e valores característicos.
Passo 2
Análise do ramo
para
.
- Domínio:
. - Em
tem-se
- Quando
, temos e
Esse ramo é uma curva logarítmica decrescente que vai de
(em
) até
(em
). Logo o seu conjunto imagem é
.
Passo 3
Análise do ramo
para
.
- Domínio:
. - Quando
,
- Quando
,
- Há um ponto de mínimo em
(pois ) com
Portanto, conforme
varia em
,
atinge todos os valores de
até
, ou seja, também produz
. No gráfico isso aparece como a parábola
iniciando imediatamente à direita de
, com círculo aberto em
(já que
não vem deste ramo) e descendo até
, depois subindo para
.
Passo 4
Unindo os dois ramos, vemos que todos os valores
são obtidos:
- O ramo logarítmico cobre
decrescendo até zero em . - O ramo quadrático cobre
alcançando zero em e indo a .
No gráfico há um ponto cheio em
(vindo de
) e um ponto vazio em
(início da parábola). A função nunca assume valores negativos.