Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=clllog 2|x| & se & x <=-1 x^2 & se & x>-1;

Passo 1

O enunciado define a função por partes:
f(x)= log2lvert xrvert, & x<= -1, x^2, & x>-1
Queremos esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem Im(f). Para isso, vamos estudar cada ramo separadamente: domínio, comportamento nos extremos e valores característicos.

Passo 2

Análise do ramo log2lvert xrvert para x<= -1.
  • Domínio: (-infty,-1].
  • Em x=-1 tem-se
f(-1)=log2lvert -1rvert=log21=0
  • Quando xto -infty, temos lvert xrvertto+infty e
limxto -inftylog2lvert xrvert=+infty
Esse ramo é uma curva logarítmica decrescente que vai de +infty (em xto-infty) até 0 (em x=-1). Logo o seu conjunto imagem é [0,infty).

Passo 3

Análise do ramo x^2 para x>-1.
  • Domínio: (-1,infty).
  • Quando xto+infty,
limxto+inftyx^2=+infty
  • Quando xto -1^+,
limxto -1^+x^2=1
  • Há um ponto de mínimo em x=0 (pois 0>-1) com
f(0)=0^2=0
Portanto, conforme x varia em (-1,infty), x^2 atinge todos os valores de 0 até +infty, ou seja, também produz [0,infty). No gráfico isso aparece como a parábola y=x^2 iniciando imediatamente à direita de x=-1, com círculo aberto em (-1,1) (já que f(-1) não vem deste ramo) e descendo até (0,0), depois subindo para +infty.

Passo 4

Unindo os dois ramos, vemos que todos os valores >=0 são obtidos:
  • O ramo logarítmico cobre [0,infty) decrescendo até zero em x=-1.
  • O ramo quadrático cobre [0,infty) alcançando zero em x=0 e indo a +infty.
No gráfico há um ponto cheio em (-1,0) (vindo de log2lvert xrvert) e um ponto vazio em (-1,1) (início da parábola). A função nunca assume valores negativos.

Resposta

Im(f)=[0,infty)

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