Use a Regra de L’Hospital para calcular os valores dos seguintes limites:
lim x 0^+ sen(x) ln (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = limx to 0^+ sin(x),ln(x)
O conteúdo envolvido é a Regra de L’Hospital, que exige converter a forma indeterminada em quociente do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty.

Passo 2

Observamos que, ao fazermos x to 0^+, tem-se sin(x)to0 e ln(x)to -infty. Logo
sin(x),ln(x) é da forma 0cdot(-infty), indeterminada. Para usar L’Hospital, escrevemos
sin(x),ln(x) = ln(x) 1sin(x)

Passo 3

Analisamos os limites das partes:
ln(x)to -infty e tfrac1sin(x)to +infty quando xto0^+, gerando a forma tfrac-infty+infty, adequada para L’Hospital. Derivamos numerador e denominador:
  • dfracddx[ln(x)] = dfrac1x.
  • dfracddxl[tfrac1sin(x)r] = -,cos(x)sin^2(x).

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital:
limxto0^+ln(x)1/sin(x) = limxto0^+ tfrac1x-tfraccos(x)sin^2(x) = limxto0^+l(-1xcdotsin^2(x)cos(x)r) = -limxto0^+sin^2(x)x,cos(x)

Passo 5

Para xto0^+, usamos as aproximações sin(x)approx x e cos(x)approx1. Assim,
-sin^2(x)x,cos(x) approx -x^2xcdot1 = -x
e -xto0. Portanto, o limite vale zero.

Resposta

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