Nos seguintes itens, encontre o polinomio de Taylor associado à funçao f de grau n no ponto a, onde
f(x)=x^4+sin x, n=5, a=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=5 em torno de a=0 para a função
f(x)=x^4+sin x
Vamos usar a definição do polinômio de Taylor em a=0:
P5(x)=sumk=0^5f^(k)(0)k!,x^k

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, precisamos das derivadas de f até a ordem 5 e seus valores em 0.
  1. f(x)=x^4+sin x
  2. f'(x)=4x^3+cos x
  3. f''(x)=12x^2-sin x
  4. f^(3)(x)=24x-cos x
  5. f^(4)(x)=24+sin x
  6. f^(5)(x)=cos x

Passo 3

Agora avaliamos cada derivada em x=0 e dividimos por k!:
f(0)&=0^4+sin0=0, f'(0)&=4cdot0^3+cos0=1, f''(0)&=12cdot0^2-sin0=0, f^(3)(0)&=24cdot0-cos0=-1, f^(4)(0)&=24+sin0=24, f^(5)(0)&=cos0=1
Logo os coeficientes são
f'(0)1!=1, f''(0)2!=0, f^(3)(0)3!=-16, f^(4)(0)4!=1, f^(5)(0)5!=1120

Passo 4

Substituindo na soma de Taylor, obtemos
P5(x) = f(0) + f'(0)1!x + f''(0)2!x^2 + f^(3)(0)3!x^3 + f^(4)(0)4!x^4 + f^(5)(0)5!x^5
Como f(0)=0 e f''(0)2!=0, sobra
P5(x) = x -x^36 + x^4 + x^5120

Resposta

P5(x)=x-x^36+x^4+x^5120

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