Esboce o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=3x^{4}-4x^{3},
indicando os extremos (relativos e absolutos, se houver) e os pontos de inflexão do gráfico.
Informações fornecidas:
f(x)=3x^{4}-4x^{3}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
As perguntas explícitas são:
  • Quais são os extremos relativos e absolutos (se existirem) e onde estão?
  • Quais são os pontos de inflexão do gráfico e onde estão?

Passo 2

Vou calcular a derivada primeira para encontrar pontos críticos (onde a inclinação da curva é zero ou a derivada não existe). A derivada é a taxa de variação instantânea da função; para polinômios usamos as regras padrão (derivada de x^{n} é n x^{n-1}). Calculando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-4x^{3}\bigr)=12x^{3}-12x^{2}.
Fatorando para facilitar o estudo de sinais:
f'(x)=12x^{2}(x-1).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos: resolvo f'(x)=0.
12x^{2}(x-1)=0 \implies x=0\quad\text{(raiz de multiplicidade 2)}\quad\text{ou}\quad x=1.
Agora avalio a função nesses pontos para termos as coordenadas:
f(0)=3\cdot0^{4}-4\cdot0^{3}=0,
f(1)=3\cdot1^{4}-4\cdot1^{3}=3-4=-1.
Portanto os pontos críticos são (0,0) e (1,-1).

Passo 4

Classificação por monotonicidade (teste de sinal de f'). Como f'(x)=12x^{2}(x-1), o fator 12x^{2} é sempre não negativo e é zero só em x=0; o sinal de f' é determinado pelo fator (x-1). Faço um estudo por intervalos:
  • Para x<1: temos (x-1)<0 e x^{2}>0 (exceto em x=0), então f'(x)<0 para todo x\in(-\infty,1)\setminus\{0\}.
  • Para x>1: (x-1)>0 e x^{2}>0, então f'(x)>0 para x>1.
    Em particular o sinal de f' é negativo à esquerda de x=1 (incluindo ambos os lados de x=0, exceto que em x=0 a derivada é zero) e positivo à direita de x=1.
Conclusões:
  • A função é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (1,\infty).
  • Em x=1 a derivada muda de negativa para positiva → x=1 é um ponto de mínimo relativo.
  • Em x=0 a derivada é zero, mas não há mudança de sinal de f' (negativo à esquerda e negativo à direita), logo x=0 não é extremo; é um ponto crítico com tangente horizontal.
Como f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty (o termo 3x^{4} domina e é positivo), e há um único ponto onde a função passa de decrescente para crescente ( x=1), esse mínimo em x=1 é também o mínimo absoluto da função. Não há máximo absoluto finito (a função cresce indefinidamente).

Passo 5

Vou usar a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda mede a curvatura (se a curva está “virada para cima” ou “para baixo”). Calculando:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{3}-12x^{2}\bigr)=36x^{2}-24x.
Fatorando:
f''(x)=12x(3x-2).
Pontos onde f''(x)=0 são candidatos a inflexão:
12x(3x-2)=0 \implies x=0 \quad\text{ou}\quad x=\tfrac{2}{3}.
Avalio a função em x=\tfrac{2}{3}:
f\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=3\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{4}-4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}.
Calculo passo a passo:
\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}=\tfrac{8}{27},\quad \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{4}=\tfrac{16}{81},
3\cdot\tfrac{16}{81}=\tfrac{48}{81}=\tfrac{16}{27},\quad 4\cdot\tfrac{8}{27}=\tfrac{32}{27},
f\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{16}{27}-\tfrac{32}{27}=-\tfrac{16}{27}.
Agora faço o teste de sinal de f'' para saber se há troca de concavidade em cada candidato:
  • Para x<0: x<0 torna 12x<0 e (3x-2)<0 → produto f''(x)>0. Assim a função é côncava para cima em (-\infty,0).
  • Para 0<x<\tfrac{2}{3}: 12x>0 e (3x-2)<0 f''(x)<0. Assim côncava para baixo em (0,\tfrac{2}{3}).
  • Para x>\tfrac{2}{3}: 12x>0 e (3x-2)>0 f''(x)>0. Assim côncava para cima em (\tfrac{2}{3},\infty).
Como f'' muda de sinal em x=0 e em x=\tfrac{2}{3}, ambos são pontos de inflexão. Note que em x=0 além de ser ponto de inflexão a tangente é horizontal (porque f'(0)=0), então x=0 é um ponto de inflexão estacionário.

Passo 6

Interseções com eixos e raízes (úteis para esboçar o gráfico):
Factorizando f:
f(x)=3x^{4}-4x^{3}=x^{3}(3x-4).
Raízes: x^{3}=0\implies x=0 (multiplicidade 3) e 3x-4=0\implies x=\tfrac{4}{3} (multiplicidade 1). Assim a curva corta o eixo x em x=0 (com comportamento de multiplicidade ímpar — cruza o eixo com achatamento) e em x=\tfrac{4}{3}. O intercepto em y é f(0)=0.
Comportamento final:
  • Decrescente em (-\infty,1), crescente em (1,\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0), côncava para baixo em (0,\tfrac{2}{3}), côncava para cima em (\tfrac{2}{3},\infty).
  • Extremo: mínimo em (1,-1) (também mínimo absoluto). Sem máximos locais ou absolutos finitos.
  • Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{16}{27}\bigr).

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Marque os pontos notáveis: (0,0), (1,-1), \bigl(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{16}{27}\bigr), e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr).
  2. Desenhe que a curva vem de +\infty quando x\to-\infty, é decrescente até x=1 e cresce depois; passe pelo ponto (0,0) cruzando o eixo com tangente horizontal (achatamento), continua decrescendo até (1,-1), e sobe depois de x=1 passando por \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) e indo para +\infty quando x\to+\infty.
  3. Observe que a concavidade muda em x=0 e x=\tfrac{2}{3}, ajustando o “curvar” do traço nesses pontos: côncavo para cima antes de 0, em seguida côncavo para baixo entre 0 e \tfrac{2}{3}, e côncavo para cima depois de \tfrac{2}{3}.
  4. Marque (1,-1) como mínimo absoluto e não marque nenhum ponto como máximo.

Resposta

Extremo mínimo relativo e absoluto em (1,-1).
Nenhum máximo relativo ou absoluto finito.
Ponto crítico em (0,0) — ponto de inflexão com tangente horizontal (não é extremo).
Pontos de inflexão em (0,0) e \bigl(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{16}{27}\bigr).

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