Esboce o gráfico da função
, dada por
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
dada por
indicando os extremos (relativos e absolutos, se houver) e os pontos de inflexão do gráfico.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
As perguntas explícitas são:
- Quais são os extremos relativos e absolutos (se existirem) e onde estão?
- Quais são os pontos de inflexão do gráfico e onde estão?
Passo 2
Vou calcular a derivada primeira para encontrar pontos críticos (onde a inclinação da curva é zero ou a derivada não existe). A derivada é a taxa de variação instantânea da função; para polinômios usamos as regras padrão (derivada de
é
). Calculando:
Fatorando para facilitar o estudo de sinais:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos: resolvo
.
Agora avalio a função nesses pontos para termos as coordenadas:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Classificação por monotonicidade (teste de sinal de
). Como
, o fator
é sempre não negativo e é zero só em
; o sinal de
é determinado pelo fator
. Faço um estudo por intervalos:
- Para
: temos e (exceto em ), então para todo . - Para
: e , então para .
Em particular o sinal deé negativo à esquerda de (incluindo ambos os lados de , exceto que em a derivada é zero) e positivo à direita de .
Conclusões:
- A função é decrescente em
e crescente em . - Em
a derivada muda de negativa para positiva → é um ponto de mínimo relativo. - Em
a derivada é zero, mas não há mudança de sinal de (negativo à esquerda e negativo à direita), logo não é extremo; é um ponto crítico com tangente horizontal.
Como
quando
(o termo
domina e é positivo), e há um único ponto onde a função passa de decrescente para crescente (
), esse mínimo em
é também o mínimo absoluto da função. Não há máximo absoluto finito (a função cresce indefinidamente).
Passo 5
Vou usar a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda mede a curvatura (se a curva está “virada para cima” ou “para baixo”). Calculando:
Fatorando:
Pontos onde
são candidatos a inflexão:
Avalio a função em
:
Calculo passo a passo:
Agora faço o teste de sinal de
para saber se há troca de concavidade em cada candidato:
- Para
: torna e → produto . Assim a função é côncava para cima em . - Para
: e → . Assim côncava para baixo em . - Para
: e → . Assim côncava para cima em .
Como
muda de sinal em
e em
, ambos são pontos de inflexão. Note que em
além de ser ponto de inflexão a tangente é horizontal (porque
), então
é um ponto de inflexão estacionário.
Passo 6
Interseções com eixos e raízes (úteis para esboçar o gráfico):
Factorizando :
Factorizando
Raízes:
(multiplicidade 3) e
(multiplicidade 1). Assim a curva corta o eixo
em
(com comportamento de multiplicidade ímpar — cruza o eixo com achatamento) e em
. O intercepto em
é
.
Comportamento final:
- Decrescente em
, crescente em . - Concavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em , côncava para cima em . - Extremo: mínimo em
(também mínimo absoluto). Sem máximos locais ou absolutos finitos. - Pontos de inflexão:
e .
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Marque os pontos notáveis:
, , , e . - Desenhe que a curva vem de
quando , é decrescente até e cresce depois; passe pelo ponto cruzando o eixo com tangente horizontal (achatamento), continua decrescendo até , e sobe depois de passando por e indo para quando . - Observe que a concavidade muda em
e , ajustando o “curvar” do traço nesses pontos: côncavo para cima antes de , em seguida côncavo para baixo entre e , e côncavo para cima depois de . - Marque
como mínimo absoluto e não marque nenhum ponto como máximo.
Resposta
Extremo mínimo relativo e absoluto em
.
Nenhum máximo relativo ou absoluto finito.
Ponto crítico em — ponto de inflexão com tangente horizontal (não é extremo).
Pontos de inflexão em e
.
Nenhum máximo relativo ou absoluto finito.
Ponto crítico em
Pontos de inflexão em