Encontre os intervalos nos quais f é crescente e/ou decrescente. Também encontre os intervalos abertos nos quais f tem concavidade para baixou e/ou concavidade para baixo, determinando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente. - Encontrar os intervalos abertos nos quais
tem concavidade para cima (côncava para cima) e concavidade para baixo (côncava para baixo). - Determinar as coordenadas
(ou seja, os valores de e os correspondentes ) de todos os pontos de inflexão.
Informações dadas:
- A função é
. - Domínio: todos os reais, porque potências com expoente
e (raízes ímpares) estão definidas para qualquer .
Observação: daqui em diante vamos usar derivadas para estudar monotonicidade e concavidade — primeiro a derivada primeira
para crescer/decrescer; depois a derivada segunda
para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
explicando a regra usada.
Regra de potência (explicação curta): se
, com
real, então
. Aqui aplicamos isso aos dois termos.
Aplicando:
Agora fatoramos para ficar mais claro o sinal:
(Verificação do fator: multiplicando
por
dá
; multiplicando por
dá
, que é o segundo termo.)
Passo 3
Encontrar pontos críticos (onde
ou
não existe).
-
é indefinida em porque aparece (divisão por ). Portanto é ponto crítico (derivada não existe aí). - Zerar
: como é diferente de zero para , a condição equivale a . Assim
Logo os pontos críticos são
(onde
) e
(onde
não existe).
Passo 4
Estudar o sinal de
para determinar monotonicidade.
Observação útil sobre fatores:
- O fator
tem sinal positivo para todo porque é sempre positivo (potência par no denominador). Logo o sinal de para vem unicamente do fator .
Analisamos em intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
- Para
(e ), temos , então . - Para
, temos , então . - Em
a derivada não existe, mas os sinais imediatamente à esquerda e à direita são positivos (pois ), então a função cresce passando por .
Conclusão sobre monotonicidade (intervalos abertos):
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Comentário intuitivo: mesmo que
não exista em
, a função não muda de sentido ali — ela continua aumentando ao atravessar
.
Passo 5
Calcular a derivada segunda
para analisar concavidade.
Partimos de
Aplicando a regra de potência termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Fatorando
:
(Verificação:
, ok.)
Passo 6
Encontrar onde
ou é indefinida, para localizar possíveis pontos de inflexão.
-
é indefinida em por causa de . - Zerar
reduz-se a zerar o fator , porque o fator não é zero quando . Assim
Portanto candidatos a troca de concavidade:
(onde
) e
(onde
indefinida).
Passo 7
Analisar o sinal de
nos intervalos
,
e
para concluir concavidade.
Primeiro uma observação sobre
: a potência
tem numerador ímpar (5), então
tem o mesmo sinal de
. Logo
também tem o mesmo sinal de
. Em suma, o sinal de
é igual ao sinal de
.
O fator
é negativo fixo. Portanto o sinal de
é:
- positivo quando
, - negativo quando
.
Agora multiplica-se por
:
-
Para
: temos então , e . Produto: positivo negativo = negativo. Logo em . Conclusão: concavidade para baixo (côncava para baixo) nesse intervalo. -
Para
: temos então , e . Produto: positivo positivo = positivo. Logo em . Conclusão: concavidade para cima nesse intervalo. -
Para
: temos então , e . Produto: negativo positivo = negativo. Logo em . Conclusão: concavidade para baixo nesse intervalo.
Portanto concavidade:
- Côncava para baixo em
e em . - Côncava para cima em
.
Passo 8
Determinar pontos de inflexão (onde a concavidade muda) e suas coordenadas
.
Identificamos mudanças de sinal de
em
e em
. Ambos são, portanto, pontos de inflexão.
Calculamos as ordenadas
:
- Para
:
Calculemos de maneira clara:
e
. Somando com o sinal:
Para simplificar essa soma, fatoramos
:
Logo o ponto de inflexão é
- Para
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 9
Resumo final (resultados prontos para checar rapidamente):
- Crescimento/decrescimento: ver Passo 4.
- Concavidade e pontos de inflexão: ver Passos 7–8.
Resposta
Pontos de inflexão: