Encontre os intervalos nos quais f é crescente e/ou decrescente. Também encontre os intervalos abertos nos quais f tem concavidade para baixou e/ou concavidade para baixo, determinando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
f(x)=x^{1 / 3}-x^{4 / 3}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar os intervalos nos quais f é crescente e nos quais f é decrescente.
  • Encontrar os intervalos abertos nos quais f tem concavidade para cima (côncava para cima) e concavidade para baixo (côncava para baixo).
  • Determinar as coordenadas x (ou seja, os valores de x e os correspondentes f(x)) de todos os pontos de inflexão.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{1/3}-x^{4/3}.
  • Domínio: todos os reais, porque potências com expoente 1/3 e 4/3 (raízes ímpares) estão definidas para qualquer x.
Observação: daqui em diante vamos usar derivadas para estudar monotonicidade e concavidade — primeiro a derivada primeira f' para crescer/decrescer; depois a derivada segunda f'' para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x) explicando a regra usada.
Regra de potência (explicação curta): se g(x)=x^{n}, com n real, então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui aplicamos isso aos dois termos.
Aplicando:
f(x)=x^{1/3}-x^{4/3}
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}-\frac{4}{3}x^{1/3}.
Agora fatoramos para ficar mais claro o sinal:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\bigl(1-4x\bigr).
(Verificação do fator: multiplicando \frac{1}{3}x^{-2/3} por 1 \frac{1}{3}x^{-2/3}; multiplicando por -4x -\frac{4}{3}x^{-2/3}\cdot x=-\frac{4}{3}x^{1/3}, que é o segundo termo.)

Passo 3

Encontrar pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe).
  • f'(x) é indefinida em x=0 porque aparece x^{-2/3} (divisão por x^{2/3}). Portanto x=0 é ponto crítico (derivada não existe aí).
  • Zerar f'(x): como \frac{1}{3}x^{-2/3} é diferente de zero para x\neq 0, a condição f'(x)=0 equivale a 1-4x=0. Assim
1-4x=0 \implies x=\frac{1}{4}.
Logo os pontos críticos são x=\frac{1}{4} (onde f'=0) e x=0 (onde f' não existe).

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade.
Observação útil sobre fatores:
  • O fator \frac{1}{3}x^{-2/3} tem sinal positivo para todo x\neq 0 porque x^{-2/3}=1/x^{2/3} é sempre positivo (potência par no denominador). Logo o sinal de f'(x) para x\neq 0 vem unicamente do fator (1-4x).
Analisamos em intervalos determinados pelos pontos críticos x=0 e x=\frac{1}{4}:
  • Para x<\frac{1}{4} (e x\neq 0), temos 1-4x>0, então f'(x)>0.
  • Para x>\frac{1}{4}, temos 1-4x<0, então f'(x)<0.
  • Em x=0 a derivada não existe, mas os sinais imediatamente à esquerda e à direita são positivos (pois 0<\frac{1}{4}), então a função cresce passando por 0.
Conclusão sobre monotonicidade (intervalos abertos):
  • f é crescente em \bigl(-\infty,\tfrac{1}{4}\bigr).
  • f é decrescente em \bigl(\tfrac{1}{4},\infty\bigr).
Comentário intuitivo: mesmo que f' não exista em x=0, a função não muda de sentido ali — ela continua aumentando ao atravessar 0.

Passo 5

Calcular a derivada segunda f''(x) para analisar concavidade.
Partimos de
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}-\frac{4}{3}x^{1/3}.
Aplicando a regra de potência termo a termo:
f''(x)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Simplificando os coeficientes:
f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}-\frac{4}{9}x^{-2/3}.
Fatorando -\frac{2}{9}x^{-5/3}:
f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}\bigl(1+2x\bigr).
(Verificação: -\frac{2}{9}x^{-5/3}\cdot(2x) = -\frac{4}{9}x^{-2/3}, ok.)

Passo 6

Encontrar onde f''(x)=0 ou é indefinida, para localizar possíveis pontos de inflexão.
  • f''(x) é indefinida em x=0 por causa de x^{-5/3}.
  • Zerar f''(x) reduz-se a zerar o fator (1+2x), porque o fator -\frac{2}{9}x^{-5/3} não é zero quando x\neq 0. Assim
1+2x=0 \implies x=-\frac{1}{2}.
Portanto candidatos a troca de concavidade: x=-\frac{1}{2} (onde f''=0) e x=0 (onde f'' indefinida).

Passo 7

Analisar o sinal de f''(x) nos intervalos (-\infty,-\tfrac{1}{2}), (-\tfrac{1}{2},0) e (0,\infty) para concluir concavidade.
Primeiro uma observação sobre x^{-5/3}: a potência 5/3 tem numerador ímpar (5), então x^{5/3} tem o mesmo sinal de x. Logo x^{-5/3}=1/x^{5/3} também tem o mesmo sinal de x. Em suma, o sinal de x^{-5/3} é igual ao sinal de x.
O fator -\frac{2}{9} é negativo fixo. Portanto o sinal de -\frac{2}{9}x^{-5/3} é:
  • positivo quando x<0,
  • negativo quando x>0.
Agora multiplica-se por (1+2x):
  • Para x<-\tfrac{1}{2}: temos x<0 então -\frac{2}{9}x^{-5/3}>0, e 1+2x<0. Produto: positivo \times negativo = negativo. Logo f''(x)<0 em (-\infty,-\tfrac{1}{2}). Conclusão: concavidade para baixo (côncava para baixo) nesse intervalo.
  • Para -\tfrac{1}{2}<x<0: temos x<0 então -\frac{2}{9}x^{-5/3}>0, e 1+2x>0. Produto: positivo \times positivo = positivo. Logo f''(x)>0 em (-\tfrac{1}{2},0). Conclusão: concavidade para cima nesse intervalo.
  • Para x>0: temos x>0 então -\frac{2}{9}x^{-5/3}<0, e 1+2x>0. Produto: negativo \times positivo = negativo. Logo f''(x)<0 em (0,\infty). Conclusão: concavidade para baixo nesse intervalo.
Portanto concavidade:
  • Côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{1}{2}\bigr) e em \bigl(0,\infty\bigr).
  • Côncava para cima em \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr).

Passo 8

Determinar pontos de inflexão (onde a concavidade muda) e suas coordenadas (x,f(x)).
Identificamos mudanças de sinal de f'' em x=-\tfrac{1}{2} e em x=0. Ambos são, portanto, pontos de inflexão.
Calculamos as ordenadas f(x):
  • Para x=-\tfrac{1}{2}:
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{1/3}-\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{4/3}.
Calculemos de maneira clara: \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{1/3}=-\tfrac{1}{2^{1/3}} e \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{4/3}=\tfrac{1}{2^{4/3}}. Somando com o sinal:
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2^{1/3}}-\frac{1}{2^{4/3}}.
Para simplificar essa soma, fatoramos 2^{-4/3}:
-\frac{1}{2^{1/3}}-\frac{1}{2^{4/3}} = -\bigl(2^{-1/3}+2^{-4/3}\bigr) = -\bigl(2^{-4/3}(2+1)\bigr) = -\frac{3}{2^{4/3}}.
Logo o ponto de inflexão é
\Bigl(-\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{3}{2^{4/3}}\Bigr).
  • Para x=0:
f(0)=0^{1/3}-0^{4/3}=0.
Logo o ponto de inflexão é (0,0).

Passo 9

Resumo final (resultados prontos para checar rapidamente):
  • Crescimento/decrescimento: ver Passo 4.
  • Concavidade e pontos de inflexão: ver Passos 7–8.

Resposta

f é crescente em \left(-\infty,\tfrac{1}{4}\right).
f é decrescente em \left(\tfrac{1}{4},\infty\right).
f é côncava para baixo em \left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right) e em \left(0,\infty\right).
f é côncava para cima em \left(-\tfrac{1}{2},0\right).
Pontos de inflexão: \displaystyle\Bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2^{4/3}}\Bigr) e \displaystyle(0,0).

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