Esboce o gráfico da função f:
, dada por
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico. Além disso, indiquem, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede:
- Esboçar o gráfico de
. - Indicar os extremos (relativos e absolutos), caso existam.
- Indicar os pontos de inflexão do gráfico, caso existam.
- Indicar as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está definida por uma expressão racional com denominador
. - Não foram fornecidas figuras adicionais nem restrições além da fórmula da função.
Passo 2
Domínio, interceptos e simetria (coisas básicas que ajudam no esboço)
- Domínio: a função tem denominador
. Os zeros do denominador são . Esses pontos não pertencem ao domínio. Portanto o domínio é
- Interceptos:
- Intercepto em
(quando ): . Logo passa por . - Interceptos em
são soluções de . Então o único intercepto em é .
- Simetria: como a expressão depende apenas de
, verifica-se que . Logo é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Esses elementos (domínio, interceptos, simetria) já nos dão pontos-chave para o esboço: o gráfico está dividido em três ramos (à esquerda de
, entre
e
, e à direita de
) e é simétrico.
Passo 3
Assíntota horizontal — comportamento quando
Uma forma útil de ver o limite em infinito é manipular a função:
Agora analiso o limite:
Portanto existe uma assíntota horizontal:
Mais informação qualitativa: para
temos
, então
e
; o gráfico aproxima-se de
por cima quando
.
Passo 4
Assíntotas verticais — comportamento próximo de
Como
não pertencem ao domínio, devemos estudar os limites laterais.
- Em
: aqui é negativo e tende a , enquanto (próximo de 1). Assim
- Em
: tende a , logo
- Em
(isto é, chegando a pela direita, dentro de ): para pouco maior que temos pequeno, então
- Em
(chegando a pela esquerda, em ): pequeno, logo
Conclusão: há assíntotas verticais em
com comportamentos unilaterais descritos acima.
Passo 5
Derivada primeira — derivação e interpretação (para extremos e monotonia)
Vou calcular
. Uso a regra do quociente. Lembrete rápido da regra do quociente: se
, então
onde
são as derivadas de
.
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Simplificando o numerador:
Portanto
Observação útil: o denominador
é sempre positivo para
, então o sinal de
depende apenas do sinal de
.
Passo 6
Estudo de monotonia e identificação de extremos
Pontos críticos: são pontos do domínio onde
ou onde
não existe.
não existe em
(fora do domínio). A equação
dá
Logo o único ponto crítico no domínio é
.
Sinal de
:
- Para
: e denominador , então (função crescente). - Para
: e denominador , então (função decrescente).
Como a derivada muda de positiva para negativa ao passar por
, conclui-se que em
há um máximo relativo.
Valor nesse ponto:
. Portanto há um máximo relativo em
.
Existem extremos absolutos? Para ter máximo absoluto precisaríamos de um valor maior ou igual a todos os valores da função no domínio. Mas a função atinge
perto de
e
, portanto não existe máximo absoluto finito. Para mínimo absoluto, a função atinge
perto de
e
, então também não existe mínimo absoluto. Conclusão: não há extremos absolutos; existe apenas um extremo relativo: máximo em
.
Também podemos confirmar com a segunda derivada (próximo passo) que é máximo local.
Passo 7
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão
Vamos derivar
. Uso regra do produto e cadeia. Passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
pela regra da cadeia é .
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
então
Colocando em fator comum
:
Simplificando o parêntese:
Assim obtemos a forma final:
Análise de concavidade:
- O numerador
é sempre positivo (pois para todo ). - O sinal de
é, portanto, o sinal de , que tem o mesmo sinal de .
Logo:
- Para
temos . Nesses intervalos a função é côncava para cima. - Para
temos . Nesses intervalos a função é côncava para baixo.
Pontos de inflexão: ocorrem quando a concavidade muda de sinal em um ponto do domínio (i.e.,
muda de sinal e o ponto pertence ao domínio). Aqui a mudança de concavidade ocorre em
, mas esses pontos não pertencem ao domínio. Além disso,
nunca é zero (numerador nunca zero). Logo não há pontos de inflexão no domínio. Conclusão: nenhum ponto de inflexão.
Verificação do máximo em
pela segunda derivada:
, portanto
é ponto de máximo local (concavidade para baixo), consistente com o item anterior.
Passo 8
Resumo do comportamento dos ramos e orientações para esboçar o gráfico
Com tudo que já calculei, o esboço (sem desenho gráfico aqui, mas com instruções para desenhar) fica assim:
- Domínio:
, , . - Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo
). - Intercepto: ponto único
— é um máximo relativo. - Assíntotas verticais:
e . - Em
: quando e quando . - Em
: quando e quando .
- Em
- Assíntota horizontal:
. Para , e aproxima-se de por cima; para aproxima-se de . - Monotonia:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
e em .
- Crescente em
- Extremos:
- Máximo relativo em
com (ponto ). - Não há mínimo relativo (nenhum outro ponto crítico).
- Não há máximo nem mínimo absolutos (função é não limitada superiormente e inferiormente).
- Máximo relativo em
- Concavidade:
- Côncava para cima em
e . - Côncava para baixo em
. - Não há pontos de inflexão no domínio (mudanças de concavidade ocorrem em
, que não pertencem ao domínio).
- Côncava para cima em
Para esboçar:
- Desenhe as assíntotas
(linhas verticais) e (linha horizontal). - No ramo central
o gráfico passa por , é côncavo para baixo e tem um máximo local em ; aproxima-se de ao se aproximar de pelos lados apropriados (conforme os limites unilaterais dados). - Nos ramos externos
e o gráfico está acima de , é côncavo para cima, decrescente em e crescente em , aproximando-se de horizontalmente e explodindo para ao se aproximar de pelos lados apropriados. - Lembre-se da simetria par para desenhar um ramo a partir do outro.
Resposta
Domínio:
Assíntotas verticais: e
Assíntota horizontal:
Extremos relativos: máximo relativo em com
Extremos absolutos: não existe máximo absoluto nem mínimo absoluto (função não é limitada)
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão no domínio
Monotonia: é crescente em
e
; decrescente em
e
Concavidade: côncava para cima em e
; côncava para baixo em
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Extremos relativos: máximo relativo em
Extremos absolutos: não existe máximo absoluto nem mínimo absoluto (função não é limitada)
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão no domínio
Monotonia:
Concavidade: côncava para cima em