Esboce o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}
indicando os extremos, relativos e absolutos, caso tenha, e os pontos de inflexão do gráfico. Além disso, indiquem, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}.
O que o problema pede:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Indicar os extremos (relativos e absolutos), caso existam.
  • Indicar os pontos de inflexão do gráfico, caso existam.
  • Indicar as assíntotas verticais e horizontais, caso existam.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida por uma expressão racional com denominador x^{2}-1.
  • Não foram fornecidas figuras adicionais nem restrições além da fórmula da função.

Passo 2

Domínio, interceptos e simetria (coisas básicas que ajudam no esboço)
  1. Domínio: a função tem denominador x^{2}-1. Os zeros do denominador são x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1. Esses pontos não pertencem ao domínio. Portanto o domínio é
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
  1. Interceptos:
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=\dfrac{0^2}{0^2-1}=0. Logo passa por (0,0).
  • Interceptos em x são soluções de x^2=0\Rightarrow x=0. Então o único intercepto em x é (0,0).
  1. Simetria: como a expressão depende apenas de x^2, verifica-se que f(-x)=f(x). Logo f é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Esses elementos (domínio, interceptos, simetria) já nos dão pontos-chave para o esboço: o gráfico está dividido em três ramos (à esquerda de -1, entre -1 e 1, e à direita de 1) e é simétrico.

Passo 3

Assíntota horizontal — comportamento quando |x|\to\infty
Uma forma útil de ver o limite em infinito é manipular a função:
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}=1+\frac{1}{x^{2}-1}.
Agora analiso o limite:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=1+0=1.
Portanto existe uma assíntota horizontal:
y=1.
Mais informação qualitativa: para |x|>1 temos x^{2}-1>0, então \dfrac{1}{x^{2}-1}>0 e f(x)>1; o gráfico aproxima-se de y=1 por cima quando |x|\to\infty.

Passo 4

Assíntotas verticais — comportamento próximo de x=\pm1
Como x=\pm1 não pertencem ao domínio, devemos estudar os limites laterais.
  1. Em x\to1^{-}: aqui x^{2}-1 é negativo e tende a 0^{-}, enquanto x^2\to1^{+} (próximo de 1). Assim
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=-\infty.
  1. Em x\to1^{+}: x^{2}-1 tende a 0^{+}, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.
  1. Em x\to-1^{+} (isto é, chegando a -1 pela direita, dentro de (-1,1)): para x pouco maior que -1 temos x^{2}-1<0 pequeno, então
\lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty.
  1. Em x\to-1^{-} (chegando a -1 pela esquerda, em (-\infty,-1)): x^{2}-1>0 pequeno, logo
\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty.
Conclusão: há assíntotas verticais em x=\pm1 com comportamentos unilaterais descritos acima.

Passo 5

Derivada primeira — derivação e interpretação (para extremos e monotonia)
Vou calcular f'(x). Uso a regra do quociente. Lembrete rápido da regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2},
onde u' , v' são as derivadas de u,v.
Aqui u(x)=x^2 e v(x)=x^2-1. Então u'(x)=2x e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{2x(x^{2}-1)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
2x(x^{2}-1)-2x x^{2}=2x(x^{2}-1-x^{2})=2x(-1)=-2x.
Portanto
f'(x)=\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Observação útil: o denominador (x^{2}-1)^{2} é sempre positivo para x\neq\pm1, então o sinal de f'(x) depende apenas do sinal de -2x.

Passo 6

Estudo de monotonia e identificação de extremos
Pontos críticos: são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. f' não existe em x=\pm1 (fora do domínio). A equação f'(x)=0
\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Logo o único ponto crítico no domínio é x=0.
Sinal de f'(x):
  • Para x<0: -2x>0 e denominador >0, então f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>0: -2x<0 e denominador >0, então f'(x)<0 (função decrescente).
Como a derivada muda de positiva para negativa ao passar por x=0, conclui-se que em x=0 há um máximo relativo.
Valor nesse ponto: f(0)=0. Portanto há um máximo relativo em (0,0).
Existem extremos absolutos? Para ter máximo absoluto precisaríamos de um valor maior ou igual a todos os valores da função no domínio. Mas a função atinge +\infty perto de x=1^{+} e x=-1^{-}, portanto não existe máximo absoluto finito. Para mínimo absoluto, a função atinge -\infty perto de x=1^{-} e x=-1^{+}, então também não existe mínimo absoluto. Conclusão: não há extremos absolutos; existe apenas um extremo relativo: máximo em (0,0).
Também podemos confirmar com a segunda derivada (próximo passo) que é máximo local.

Passo 7

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão
Vamos derivar f'(x)= -2x (x^{2}-1)^{-2}. Uso regra do produto e cadeia. Passo a passo:
  1. Derivada de -2x é -2.
  2. Derivada de (x^{2}-1)^{-2} pela regra da cadeia é -2(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2x = -4x(x^{2}-1)^{-3}.
Aplicando a regra do produto:
f''(x) = -2\cdot (x^{2}-1)^{-2} + (-2x)\cdot\big(-4x(x^{2}-1)^{-3}\big).
Simplificando o segundo termo:
(-2x)(-4x)=8x^{2},
então
f''(x) = -2(x^{2}-1)^{-2} + 8x^{2}(x^{2}-1)^{-3}.
Colocando em fator comum (x^{2}-1)^{-3}:
f''(x)=(x^{2}-1)^{-3}\big(-2(x^{2}-1)+8x^{2}\big).
Simplificando o parêntese:
-2(x^{2}-1)+8x^{2}=-2x^{2}+2+8x^{2}=6x^{2}+2=2(3x^{2}+1).
Assim obtemos a forma final:
f''(x)=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Análise de concavidade:
  • O numerador 2(3x^{2}+1) é sempre positivo (pois 3x^{2}+1>0 para todo x).
  • O sinal de f''(x) é, portanto, o sinal de (x^{2}-1)^{-3}, que tem o mesmo sinal de (x^{2}-1)^{3}.
Logo:
  • Para |x|>1 temos x^{2}-1>0\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}>0\Rightarrow f''(x)>0. Nesses intervalos a função é côncava para cima.
  • Para |x|<1 temos x^{2}-1<0\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}<0\Rightarrow f''(x)<0. Nesses intervalos a função é côncava para baixo.
Pontos de inflexão: ocorrem quando a concavidade muda de sinal em um ponto do domínio (i.e., f'' muda de sinal e o ponto pertence ao domínio). Aqui a mudança de concavidade ocorre em x=\pm1, mas esses pontos não pertencem ao domínio. Além disso, f''(x) nunca é zero (numerador nunca zero). Logo não há pontos de inflexão no domínio. Conclusão: nenhum ponto de inflexão.
Verificação do máximo em x=0 pela segunda derivada: f''(0)=\dfrac{2(0+1)}{(0-1)^{3}}=\dfrac{2}{-1}=-2<0, portanto x=0 é ponto de máximo local (concavidade para baixo), consistente com o item anterior.

Passo 8

Resumo do comportamento dos ramos e orientações para esboçar o gráfico
Com tudo que já calculei, o esboço (sem desenho gráfico aqui, mas com instruções para desenhar) fica assim:
  • Domínio: (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty).
  • Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Intercepto: ponto único (0,0) — é um máximo relativo.
  • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
    • Em x=-1: f(x)\to+\infty quando x\to-1^{-} e f(x)\to-\infty quando x\to-1^{+}.
    • Em x=1: f(x)\to-\infty quando x\to1^{-} e f(x)\to+\infty quando x\to1^{+}.
  • Assíntota horizontal: y=1. Para |x|>1, f(x)>1 e aproxima-se de 1 por cima; para |x|\to\infty aproxima-se de 1.
  • Monotonia:
    • Crescente em (-\infty,-1) e em (-1,0).
    • Decrescente em (0,1) e em (1,\infty).
  • Extremos:
    • Máximo relativo em x=0 com f(0)=0 (ponto (0,0)).
    • Não há mínimo relativo (nenhum outro ponto crítico).
    • Não há máximo nem mínimo absolutos (função é não limitada superiormente e inferiormente).
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty).
    • Côncava para baixo em (-1,1).
    • Não há pontos de inflexão no domínio (mudanças de concavidade ocorrem em x=\pm1, que não pertencem ao domínio).
Para esboçar:
  • Desenhe as assíntotas x=\pm1 (linhas verticais) e y=1 (linha horizontal).
  • No ramo central (-1,1) o gráfico passa por (0,0), é côncavo para baixo e tem um máximo local em (0,0); aproxima-se de -\infty ao se aproximar de x\to\pm1 pelos lados apropriados (conforme os limites unilaterais dados).
  • Nos ramos externos (1,\infty) e (-\infty,-1) o gráfico está acima de y=1, é côncavo para cima, decrescente em (1,\infty) e crescente em (-\infty,-1), aproximando-se de y=1 horizontalmente e explodindo para +\infty ao se aproximar de x=\pm1 pelos lados apropriados.
  • Lembre-se da simetria par para desenhar um ramo a partir do outro.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Assíntotas verticais: x=-1 e x=1
Assíntota horizontal: y=1
Extremos relativos: máximo relativo em (0,0) com f(0)=0
Extremos absolutos: não existe máximo absoluto nem mínimo absoluto (função não é limitada)
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão no domínio
Monotonia: f é crescente em (-\infty,-1) e (-1,0); decrescente em (0,1) e (1,\infty)
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty); côncava para baixo em (-1,1)

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