Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
f(x)=x^{4}-4 x^{3}+4 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para encontrar os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
Informações fornecidas:
f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}
Perguntas do enunciado (resumidas):
  1. Quais são os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não está definida)?
  2. Usando o teste da derivada primeira, identificar se cada ponto crítico é máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
  3. Usando o teste da derivada segunda, fazer a mesma classificação para cada ponto crítico.
  4. Calcular os valores de f nesses pontos para apresentar as coordenadas dos extremos relativos.
Observação: a função está polinomial, logo é definida e derivável para todo x\in\mathbb{R}. A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira f'(x). Relembre a regra básica que vamos usar: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aplicando termo a termo:
f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}
Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{3}\bigr)=-4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=4\cdot 2x=8x
Somando as parcelas obtemos a derivada primeira:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+8x
É útil fatorar para encontrar as raízes com facilidade. Colocando fator comum 4x:
f'(x)=4x\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)
Fatorando o quadrático:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)
Portanto:
f'(x)=4x(x-1)(x-2)

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' não existe.
Como f' é polinomial, existe para todo x. Então só precisamos resolver:
4x(x-1)(x-2)=0
As soluções são os zeros dos fatores:
x=0,\quad x=1,\quad x=2
Esses são os pontos críticos. A seguir vamos classificar cada um com o teste da derivada primeira.

Passo 4

Teste da derivada primeira — ideia: se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente. Mudanças de sinal de f' ao atravessar um ponto crítico indicam extremos: negativo→positivo = mínimo relativo; positivo→negativo = máximo relativo; sem mudança de sinal = nenhum extremo.
Fazemos um quadro de sinais usando os intervalos determinados pelos pontos críticos 0,1,2: intervalos (-\infty,0), (0,1), (1,2), (2,\infty).
Para cada intervalo escolhemos um ponto teste e avaliamos o sinal de cada fator em f'(x)=4x(x-1)(x-2). O fator constante 4 é positivo e não altera o sinal.
  • Intervalo (-\infty,0). Tome x=-1.
    • x=-1 x é negativo.
    • x-1=-2 é negativo.
    • x-2=-3 é negativo.
    • Produto de sinais: negativo × negativo × negativo = negativo.
    • Logo f'(-1)<0. Conclusão: f decrescente em (-\infty,0).
  • Intervalo (0,1). Tome x=0{,}5.
    • x=0{,}5 x é positivo.
    • x-1=-0{,}5 é negativo.
    • x-2=-1{,}5 é negativo.
    • Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
    • Logo f'(0{,}5)>0. Conclusão: f crescente em (0,1).
  • Intervalo (1,2). Tome x=1{,}5.
    • x=1{,}5 é positivo.
    • x-1=0{,}5 é positivo.
    • x-2=-0{,}5 é negativo.
    • Produto: positivo × positivo × negativo = negativo.
    • Logo f'(1{,}5)<0. Conclusão: f decrescente em (1,2).
  • Intervalo (2,\infty). Tome x=3.
    • x=3 é positivo.
    • x-1=2 é positivo.
    • x-2=1 é positivo.
    • Produto: positivo × positivo × positivo = positivo.
    • Logo f'(3)>0. Conclusão: f crescente em (2,\infty).
Agora analisamos as mudanças de monotonicidade em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo relativo em x=0.
  • Em x=1: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo relativo em x=1.
  • Em x=2: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo relativo em x=2.
Calculamos os valores de f nesses pontos para obter as coordenadas dos extremos.
Calcule f(0):
f(0)=0^{4}-4\cdot 0^{3}+4\cdot 0^{2}=0
Calcule f(1):
f(1)=1^{4}-4\cdot 1^{3}+4\cdot 1^{2}=1-4+4=1
Calcule f(2):
f(2)=2^{4}-4\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{2}=16-32+16=0
Portanto, pelo teste da derivada primeira:
  • Mínimos relativos em (0,0) e (2,0).
  • Máximo relativo em (1,1).

Passo 5

Teste da derivada segunda — ideia: se f''(x)>0 em um ponto crítico, a curva é côncava para cima ali e temos mínimo relativo; se f''(x)<0 temos máximo relativo; se f''(x)=0 o teste é inconclusivo.
Calculamos f''(x) derivando f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+8x. Aplicando a regra do poder termo a termo:
f''(x)=12x^{2}-24x+8
Podemos fatorar 4 para simplificar a avaliação:
f''(x)=4\bigl(3x^{2}-6x+2\bigr)
Agora avaliamos f'' nos pontos críticos x=0,1,2.
  • Em x=0:
    f''(0)=12\cdot 0^{2}-24\cdot 0+8=8
    Como f''(0)=8>0, por esse teste x=0 é mínimo relativo.
  • Em x=1:
    f''(1)=12\cdot 1^{2}-24\cdot 1+8=12-24+8=-4
    Como f''(1)=-4<0, por esse teste x=1 é máximo relativo.
  • Em x=2:
    f''(2)=12\cdot 2^{2}-24\cdot 2+8=48-48+8=8
    Como f''(2)=8>0, por esse teste x=2 é mínimo relativo.
Os resultados do teste da derivada segunda coincidem com os do teste da derivada primeira.

Passo 6

Resumo final dos extremos relativos com coordenadas (já calculadas):
  • Mínimo relativo em x=0 com f(0)=0: ponto (0,0).
  • Máximo relativo em x=1 com f(1)=1: ponto (1,1).
  • Mínimo relativo em x=2 com f(2)=0: ponto (2,0).
Ambos os testes (primeira e segunda derivada) confirmam essas classificações.

Resposta

Mínimos relativos: (0,0)
Máximo relativo: (1,1)
Mínimo relativo: (2,0)

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