Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.
Informações fornecidas:
Perguntas do enunciado (resumidas):
- Quais são os pontos críticos (onde
ou não está definida)? - Usando o teste da derivada primeira, identificar se cada ponto crítico é máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
- Usando o teste da derivada segunda, fazer a mesma classificação para cada ponto crítico.
- Calcular os valores de
nesses pontos para apresentar as coordenadas dos extremos relativos.
Observação: a função está polinomial, logo é definida e derivável para todo
. A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
. Relembre a regra básica que vamos usar: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Derivando cada termo:
Somando as parcelas obtemos a derivada primeira:
É útil fatorar para encontrar as raízes com facilidade. Colocando fator comum
:
Fatorando o quadrático:
Portanto:
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo
e verificando onde
não existe.
Como
é polinomial, existe para todo
. Então só precisamos resolver:
As soluções são os zeros dos fatores:
Esses são os pontos críticos. A seguir vamos classificar cada um com o teste da derivada primeira.
Passo 4
Teste da derivada primeira — ideia: se
em um intervalo,
é crescente ali; se
,
é decrescente. Mudanças de sinal de
ao atravessar um ponto crítico indicam extremos: negativo→positivo = mínimo relativo; positivo→negativo = máximo relativo; sem mudança de sinal = nenhum extremo.
Fazemos um quadro de sinais usando os intervalos determinados pelos pontos críticos
: intervalos
,
,
,
.
Para cada intervalo escolhemos um ponto teste e avaliamos o sinal de cada fator em
. O fator constante
é positivo e não altera o sinal.
-
Intervalo
. Tome . -
→ é negativo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto de sinais: negativo × negativo × negativo = negativo.
- Logo
. Conclusão: decrescente em .
-
-
Intervalo
. Tome . -
→ é positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
- Logo
. Conclusão: crescente em .
-
-
Intervalo
. Tome . -
é positivo. -
é positivo. -
é negativo. - Produto: positivo × positivo × negativo = negativo.
- Logo
. Conclusão: decrescente em .
-
-
Intervalo
. Tome . -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo.
- Logo
. Conclusão: crescente em .
-
Agora analisamos as mudanças de monotonicidade em cada ponto crítico:
- Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo relativo em . - Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo relativo em . - Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo relativo em .
Calculamos os valores de
nesses pontos para obter as coordenadas dos extremos.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto, pelo teste da derivada primeira:
- Mínimos relativos em
e . - Máximo relativo em
.
Passo 5
Teste da derivada segunda — ideia: se
em um ponto crítico, a curva é côncava para cima ali e temos mínimo relativo; se
temos máximo relativo; se
o teste é inconclusivo.
Calculamos
derivando
. Aplicando a regra do poder termo a termo:
Podemos fatorar
para simplificar a avaliação:
Agora avaliamos
nos pontos críticos
.
-
Em
: Como, por esse teste é mínimo relativo. -
Em
: Como, por esse teste é máximo relativo. -
Em
: Como, por esse teste é mínimo relativo.
Os resultados do teste da derivada segunda coincidem com os do teste da derivada primeira.
Passo 6
Resumo final dos extremos relativos com coordenadas (já calculadas):
- Mínimo relativo em
com : ponto . - Máximo relativo em
com : ponto . - Mínimo relativo em
com : ponto .
Ambos os testes (primeira e segunda derivada) confirmam essas classificações.
Resposta
Mínimos relativos:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Máximo relativo:
Mínimo relativo: