Uma área retangular com 288 \mathrm{~m}^{2} deve ser cercada. Em dois lados opostos, será usada uma cerca que custa \mathrm{R} \$5,00 o metro e, nos lados restantes, uma cerca que custa R$ 10,00 o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Informação: a área do retângulo é \;288\\ \mathrm{m}^2.
  • Informação: em dois lados opostos a cerca custa \;R\$5{,}00 por metro.
  • Informação: nos dois lados restantes a cerca custa \;R\$10{,}00 por metro.
  • Pergunta: encontre as dimensões do retângulo que tornam o custo total da cerca mínimo.
(Anotei tudo que o enunciado deu: área fixa e dois preços diferentes para lados opostos. A partir daqui vamos modelar o custo e minimizar.)

Passo 2

Escolhemos variáveis para representar as dimensões e ligamos isso ao custo.
  • Seja \;x a medida (em metros) de cada um dos dois lados que serão cercados com a cerca de \;R\$5{,}00 por metro. Como são dois lados iguais, haverá dois segmentos de comprimento \;x.
  • Seja \;y a medida (em metros) de cada um dos dois lados que serão cercados com a cerca de \;R\$10{,}00 por metro. Também há dois segmentos de comprimento \;y.
Aqui estamos apenas definindo as variáveis: \;x>0 e \;y>0.

Passo 3

Escrevemos a equação que vem da área fixa e explicamos por que ela é assim.
  • A área de um retângulo é dada por base vezes altura, ou seja, \; \text{área} = x\cdot yá.
  • Como a área é \;288\\ \mathrm{m}^2, temos a restrição
x\cdot y = 288.
Isso relaciona \;y com \;x; vamos usar isso para escrever o custo em função de uma única variável.

Passo 4

Montamos a função custo em termos de \;x e \;y, explicando cada termo.
  • Cada um dos dois lados de comprimento \;x usa cerca de \;R\$5{,}00 por metro, então o custo total desses dois lados é \;2\cdot 5\cdot x.
  • Cada um dos dois lados de comprimento \;y usa cerca de \;R\$10{,}00 por metro, então o custo total desses dois lados é \;2\cdot 10\cdot y.
  • Somando, a função custo (em reais) é
C(x,y) = 2\cdot 5\cdot x + 2\cdot 10\cdot y = 10x + 20y.
Aqui \;C é o custo total em reais; as constantes vêm dos preços por metro e do fato de termos dois lados de cada tipo.

Passo 5

Eliminamos \;y usando a restrição da área para obter uma função de uma variável.
  • Da restrição \;xy=288 temos \;y=\dfrac{288}{x}.
  • Substituindo em C
C(x) = 10x + 20\left(\dfrac{288}{x}\right).
  • Simplificando o segundo termo:
C(x) = 10x + \dfrac{20\cdot 288}{x} = 10x + \dfrac{5760}{x}.
Agora temos C como função de \;x só, definida para \;x>0.

Passo 6

Explico a ideia de como encontrar o mínimo: derivada e ponto crítico.
  • Intuição rápida: a derivada de C(x) mede a taxa de variação do custo quando mudamos x. Um mínimo interior geralmente ocorre onde a derivada é zero (ponto crítico) e a função muda de decrescente para crescente.
  • Vamos calcular C'(x) e usar o teste da segunda derivada para garantir que é um mínimo.

Passo 7

Calculamos a derivada de C(x) passo a passo.
  • Escrevemos C(x) de forma que seja fácil derivar:
C(x) = 10x + 5760\cdot x^{-1}.
  • Derivando termo a termo:
    • a derivada de 10x é 10;
    • a derivada de 5760\cdot x^{-1} é 5760\cdot(-1)\cdot x^{-2} = -\dfrac{5760}{x^{2}}.
  • Portanto,
C'(x) = 10 - \dfrac{5760}{x^{2}}.
Expliquei cada passo da diferenciação para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 8

Achar os pontos críticos resolvendo C'(x)=0.
  • Igualando a zero:
10 - \dfrac{5760}{x^{2}} = 0.
  • Passo a passo para isolar x^2:
\dfrac{5760}{x^{2}} = 10,
x^{2} = \dfrac{5760}{10} = 576.
  • Como x>0 (medida positiva), tomamos a raiz positiva:
x = \sqrt{576} = 24.
Portanto o candidato a minimizar o custo é \;x=24\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificamos que o ponto encontrado é, de fato, um mínimo (teste da segunda derivada).
  • Calculamos a segunda derivada:
C''(x) = \dfrac{d}{dx}\left(10 - \dfrac{5760}{x^{2}}\right) = \dfrac{d}{dx}\left(-5760 x^{-2}\right) = 11520 x^{-3} = \dfrac{11520}{x^{3}}.
  • Avaliando em x=24:
C''(24) = \dfrac{11520}{24^{3}} > 0.
  • Como a segunda derivada é positiva no ponto crítico, x=24 é um ponto de mínimo local. Como a função custo vai para infinito quando x\to 0^+ ou x\to\infty, esse mínimo é global.

Passo 10

Encontramos a outra dimensão \;y usando a restrição da área.
  • Usamos \;y=\dfrac{288}{x} e substituímos x=24:
y = \dfrac{288}{24} = 12.
  • Logo a outra dimensão é \;12\\ \mathrm{m}.

Passo 11

(Faço uma verificação numérica rápida do custo mínimo para você ter uma ideia.)
  • O custo mínimo é
C(24) = 10\cdot 24 + \dfrac{5760}{24} = 240 + 240 = 480,
ou seja, \;R\$480{,}00. Isso confirma que as contas estão consistentes.

Resposta

Lados com cerca de R\$5{,}00: 24\\ \mathrm{m}
Lados com cerca de R\$10{,}00: 12\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados