Uma área retangular com
deve ser cercada. Em dois lados opostos, será usada uma cerca que custa
o metro e, nos lados restantes, uma cerca que custa R$ 10,00 o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Informação: a área do retângulo é
. - Informação: em dois lados opostos a cerca custa
por metro. - Informação: nos dois lados restantes a cerca custa
por metro. - Pergunta: encontre as dimensões do retângulo que tornam o custo total da cerca mínimo.
(Anotei tudo que o enunciado deu: área fixa e dois preços diferentes para lados opostos. A partir daqui vamos modelar o custo e minimizar.)
Passo 2
Escolhemos variáveis para representar as dimensões e ligamos isso ao custo.
- Seja
a medida (em metros) de cada um dos dois lados que serão cercados com a cerca de por metro. Como são dois lados iguais, haverá dois segmentos de comprimento . - Seja
a medida (em metros) de cada um dos dois lados que serão cercados com a cerca de por metro. Também há dois segmentos de comprimento .
Aqui estamos apenas definindo as variáveis:
e
.
Passo 3
Escrevemos a equação que vem da área fixa e explicamos por que ela é assim.
- A área de um retângulo é dada por base vezes altura, ou seja,
. - Como a área é
, temos a restrição
Isso relaciona
com
; vamos usar isso para escrever o custo em função de uma única variável.
Passo 4
Montamos a função custo em termos de
e
, explicando cada termo.
- Cada um dos dois lados de comprimento
usa cerca de por metro, então o custo total desses dois lados é . - Cada um dos dois lados de comprimento
usa cerca de por metro, então o custo total desses dois lados é . - Somando, a função custo (em reais) é
Aqui
é o custo total em reais; as constantes vêm dos preços por metro e do fato de termos dois lados de cada tipo.
Passo 5
Eliminamos
usando a restrição da área para obter uma função de uma variável.
- Da restrição
temos . - Substituindo em
dá
- Simplificando o segundo termo:
Agora temos
como função de
só, definida para
.
Passo 6
Explico a ideia de como encontrar o mínimo: derivada e ponto crítico.
- Intuição rápida: a derivada de
mede a taxa de variação do custo quando mudamos . Um mínimo interior geralmente ocorre onde a derivada é zero (ponto crítico) e a função muda de decrescente para crescente. - Vamos calcular
e usar o teste da segunda derivada para garantir que é um mínimo.
Passo 7
Calculamos a derivada de
passo a passo.
- Escrevemos
de forma que seja fácil derivar:
- Derivando termo a termo:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é .
- a derivada de
- Portanto,
Expliquei cada passo da diferenciação para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 8
Achar os pontos críticos resolvendo
.
- Igualando a zero:
- Passo a passo para isolar
:
- Como
(medida positiva), tomamos a raiz positiva:
Portanto o candidato a minimizar o custo é
.
Passo 9
Verificamos que o ponto encontrado é, de fato, um mínimo (teste da segunda derivada).
- Calculamos a segunda derivada:
- Avaliando em
:
- Como a segunda derivada é positiva no ponto crítico,
é um ponto de mínimo local. Como a função custo vai para infinito quando ou , esse mínimo é global.
Passo 10
Encontramos a outra dimensão
usando a restrição da área.
- Usamos
e substituímos :
- Logo a outra dimensão é
.
Passo 11
(Faço uma verificação numérica rápida do custo mínimo para você ter uma ideia.)
- O custo mínimo é
ou seja,
. Isso confirma que as contas estão consistentes.
Resposta
Lados com cerca de
:
Lados com cerca de :
Lados com cerca de