Esboce o gráfico da função f: R R dada por f(x)=|x^2-|x+2|+2|, para x in R.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: esboçar o gráfico de f(x)=|x²−|x+2|+2|. O conteúdo é valor absoluto e análise de função por partes, e vamos precisar dividir o domínio segundo onde mudam os sinais em |x+2| e dentro do valor absoluto externo.

Passo 2

Primeiro, tratamos o valor absoluto interno. Para x<−2 temos |x+2|=−x−2; para x≥−2 temos |x+2|=x+2. Assim definimos g(x)=x²−|x+2|+2 e escrevemos g em cada região.

Passo 3

Em x<−2: substituindo |x+2|=−x−2 obtemos
g(x)=x²−(−x−2)+2=x²+x+4 ²²
Como o discriminante de x²+x+4 é negativo, g(x)>0 em todo x<−2, logo f(x)=|g(x)|=x²+x+4 nessa região.

Passo 4

Em x≥−2: substituindo |x+2|=x+2 obtemos
g(x)=x²−(x+2)+2=x²−x ²²
Para ver onde g(x) muda de sinal resolvemos x²−x=0 ⇒ x(x−1)=0, ou seja zeros em x=0 e x=1.

Passo 5

Agora, dentro de x≥−2 dividimos em três subintervalos:
– −2≤x<0: aqui x(x−1)>0 ⇒ g(x)>0 ⇒ f(x)=g(x)=x²−x.
– 0≤x≤1: aqui x(x−1)≤0 ⇒ g(x)≤0 ⇒ f(x)=−g(x)=−x²+x.
– x>1: aqui x(x−1)>0 ⇒ g(x)>0 ⇒ f(x)=g(x)=x²−x.

Passo 6

Portanto a expressão final em partes é:
f(x)= x²+x+4,&x<−2, x²−x,&−2≤x<0, −x²+x,&0≤x≤1, x²−x,&x>1 ²²²²

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que:
– Em x<−2 temos uma parábola voltada para cima, decrescente até f(−2)=6.
– Em −2≤x<0 temos outra parábola para cima, decrescente de f(−2)=6 até f(0)=0.
– Em 0≤x≤1 temos uma parábola para baixo, com vértice em x=½ dando f(½)=¼, e f(0)=f(1)=0.
– Em x>1 temos novamente parábola para cima, crescente a partir de f(1)=0 até +∞.

Passo 8

Juntando tudo, o gráfico é contínuo, com ponto mínimo f=0 em x=0 e x=1, máximo local f=¼ em x=½, e cresce para +∞ quando x→±∞.

Resposta

A função é dada por:
f(x)= x²+x+4,&x<−2, x²−x,&−2≤x<0, −x²+x,&0≤x≤1, x²−x,&x>1 ²²²²
O esboço mostra – para x<−2 – uma parábola para cima decrescente até (−2,6), em −2≤x<0 outra parábola para cima decrescente até (0,0), em 0≤x≤1 uma parábola para baixo com vértice em (½,¼) e zeros em 0 e 1, e para x>1 uma parábola para cima crescente a partir de (1,0).

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