Lembrando da fórmula de transformada de derivadas,
calcule
(b)
(Sugestão: perceba que
é a derivada de
)
(b)
Passo 1
O exercício pede a transformada de Laplace de 3 t² sin k t + k t³ cos k t. O conteúdo principal é transformada de Laplace de derivadas e transformada de tⁿ·f(t). Vamos usar a fórmula de transformada de derivadas e a propriedade de derivada em s para tⁿ·f(t).
Passo 2
Definimos f(t)=t³ sin k t. Note que f′(t)=3 t² sin k t + k t³ cos k t, que é justamente o integrando cuja transformada queremos.
Aplicamos a fórmula de transformada de derivada:
Aplicamos a fórmula de transformada de derivada:
Passo 3
Como f(0)=0, temos .
Para isso usamos a propriedade com
No caso n=3:
Para isso usamos a propriedade
Passo 4
Fazendo as derivadas sucessivas e simplificando, chega-se a
Passo 5
Multiplicando por s, obtemos a transformada pedida: