Lembrando da fórmula de transformada de derivadas,
Lf^(n)(t)=s^n Lf(t)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^n-1(0),
calcule
(b) L3 t^2 sin k t+k t^3 cos k t (Sugestão: perceba que 3 t^2 sin k t+k t^3 cos k t é a derivada de t^3 sin k t )

Passo 1

O exercício pede a transformada de Laplace de 3 t² sin k t + k t³ cos k t. O conteúdo principal é transformada de Laplace de derivadas e transformada de tⁿ·f(t). Vamos usar a fórmula de transformada de derivadas e a propriedade de derivada em s para tⁿ·f(t).

Passo 2

Definimos f(t)=t³ sin k t. Note que f′(t)=3 t² sin k t + k t³ cos k t, que é justamente o integrando cuja transformada queremos.
Aplicamos a fórmula de transformada de derivada:
Lf'(t)=s,Lf(t)-f(0)

Passo 3

Como f(0)=0, temos .
Para isso usamos a propriedade L3t^2sin kt + k t^3cos kt=s,Lt^3sin kt Agora precisamos de (Lt^3sin kt com Lt^n f(t)=(-1)^n,d^nds^n[,F(s),] No caso n=3:
F(s)=Lsin kt=ks^2+k^2

Passo 4

Fazendo as derivadas sucessivas e simplificando, chega-se a
Lt^3sin kt=24,k,s,(s^2-k^2)(s^2+k^2)^4

Passo 5

Multiplicando por s, obtemos a transformada pedida:
L3t^2sin kt + k t^3cos kt=scdot24,k,s,(s^2-k^2)(s^2+k^2)^4=24,k,s^2,(s^2-k^2)(s^2+k^2)^4

Resposta

24,k,s^2,(s^2-k^2)(s^2+k^2)^4

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