Determine a imagem das funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis) da função
quando
percorre o intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo
.
O que é pedido:
- Encontrar o conjunto de todos os valores
que pode assumir quando .
Passo 2
O que significa “imagem” (ou “contradomínio restrito”) aqui: é o conjunto
. Para uma função polinomial contínua num intervalo fechado, a imagem é um intervalo
onde
é o mínimo de
em
e
é o máximo de
em
. Vou encontrar primeiro onde a parábola tem seu vértice e depois verificar os valores nos pontos importantes (vértice e extremidades do intervalo).
Passo 3
Reescrevendo
completando o quadrado (isso ajuda a ver o vértice da parábola):
Aqui a ideia foi: tomar
, adicionar e subtrair
(que é
), e agrupar como quadrado perfeito. O resultado mostra a parábola deslocada: a parte
é sempre
.
Passo 4
A partir de
, o menor valor possível de
é
, que ocorre quando
. Então o menor valor de
é
Verifiquei que
pertence ao intervalo dado
, logo esse mínimo realmente é atingido dentro do domínio considerado.
Passo 5
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima. Portanto não existe máximo global em toda a reta, mas no intervalo fechado
o valor máximo será atingido em alguma borda do intervalo (ou no vértice, se for o caso). Já vimos que o vértice dá o mínimo; então o máximo no intervalo ocorrerá em uma das extremidades
ou
. Calculo esses valores:
Os dois extremos dão
, então o máximo em
é
.
Passo 6
Juntando os resultados: o menor valor de
em
é
(em
) e o maior é
(em
e
). Como a função é contínua, a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos.