Determine a imagem das funções:
f(x)=x^{2}-4 x+5, \operatorname{com} x \in[0,4]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis) da função f(x)=x^{2}-4x+5 quando x percorre o intervalo [0,4].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}-4x+5.
  • O domínio considerado é o intervalo [0,4].
O que é pedido:
  • Encontrar o conjunto de todos os valores y que f(x) pode assumir quando x\in[0,4].

Passo 2

O que significa “imagem” (ou “contradomínio restrito”) aqui: é o conjunto \{\,f(x)\mid x\in[0,4]\,\}. Para uma função polinomial contínua num intervalo fechado, a imagem é um intervalo [m,M] onde m é o mínimo de f em [0,4] e M é o máximo de f em [0,4]. Vou encontrar primeiro onde a parábola tem seu vértice e depois verificar os valores nos pontos importantes (vértice e extremidades do intervalo).

Passo 3

Reescrevendo f completando o quadrado (isso ajuda a ver o vértice da parábola):
f(x)=x^{2}-4x+5=(x^{2}-4x+4)+1=(x-2)^{2}+1.
Aqui a ideia foi: tomar x^{2}-4x, adicionar e subtrair 4 (que é (\tfrac{4}{2})^{2}), e agrupar como quadrado perfeito. O resultado mostra a parábola deslocada: a parte (x-2)^{2} é sempre \ge 0.

Passo 4

A partir de \,f(x)=(x-2)^{2}+1, o menor valor possível de (x-2)^{2} é 0, que ocorre quando x=2. Então o menor valor de f é
f(2)=(2-2)^{2}+1=0+1=1.
Verifiquei que x=2 pertence ao intervalo dado [0,4], logo esse mínimo realmente é atingido dentro do domínio considerado.

Passo 5

Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 1>0), a parábola abre para cima. Portanto não existe máximo global em toda a reta, mas no intervalo fechado [0,4] o valor máximo será atingido em alguma borda do intervalo (ou no vértice, se for o caso). Já vimos que o vértice dá o mínimo; então o máximo no intervalo ocorrerá em uma das extremidades x=0 ou x=4. Calculo esses valores:
f(0)=0^{2}-4\cdot0+5=5,
f(4)=4^{2}-4\cdot4+5=16-16+5=5.
Os dois extremos dão 5, então o máximo em [0,4] é 5.

Passo 6

Juntando os resultados: o menor valor de f em [0,4] é 1 (em x=2) e o maior é 5 (em x=0 e x=4). Como a função é contínua, a imagem é o intervalo fechado entre esses extremos.

Resposta

[1,5]

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