esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições: f(1)=0, lim x pm infty f(x)=0, lim x 0 f(x)=-infty, lim x 2^+ f(x)=-infty in lim x 2^- f(x)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função que satisfaz algumas condições específicas. Vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções para isso. Precisamos entender o que acontecem com quando se aproxima de certos valores e em direções extremas (quando vai para mais ou menos infinito).

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que o ponto está no gráfico da função. É um ponto onde a função cruza o eixo .

Passo 3

Depois, temos que . Isso indica que, conforme fica muito grande ou muito pequeno (vai para o infinito positivo ou negativo), o valor de se aproxima de 0. Ou seja, o eixo é uma assíntota horizontal.

Passo 4

Agora, olhando para , isso quer dizer que quando se aproxima de 0, desce para o infinito negativo. Então, há uma assíntota vertical em , e o gráfico se aproxima de conforme se aproxima de 0.

Passo 5

Por último, temos que analisar o comportamento em . O limite pela direita, , significa que quando se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2, desce para o infinito negativo. Já o limite pela esquerda, , indica que quando se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2, sobe para o infinito positivo. Assim, há uma assíntota vertical em , e o gráfico se comporta de forma oposta dos dois lados desse ponto.

Passo 6

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  • Passamos pelo ponto .
  • Temos uma assíntota horizontal no eixo .
  • Assíntotas verticais em e .
  • Perto de , a função vai para .
  • Perto de , a função vai para pela esquerda e pela direita.
  • Conforme vai para , se aproxima de 0.

Resposta

O gráfico de passa pelo ponto , tem uma assíntota horizontal no eixo , assíntotas verticais em e . Perto de , a função desce para . Perto de , sobe para pela esquerda e desce para pela direita. Conforme vai para , se aproxima de 0. O esboço reflete esses comportamentos.

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