esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função
que satisfaz algumas condições específicas. Vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções para isso. Precisamos entender o que acontecem com
quando
se aproxima de certos valores e em direções extremas (quando
vai para mais ou menos infinito).
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que o ponto
está no gráfico da função. É um ponto onde a função cruza o eixo
.
Passo 3
Depois, temos que
. Isso indica que, conforme
fica muito grande ou muito pequeno (vai para o infinito positivo ou negativo), o valor de
se aproxima de 0. Ou seja, o eixo
é uma assíntota horizontal.
Passo 4
Agora, olhando para
, isso quer dizer que quando
se aproxima de 0,
desce para o infinito negativo. Então, há uma assíntota vertical em
, e o gráfico se aproxima de
conforme
se aproxima de 0.
Passo 5
Por último, temos que analisar o comportamento em
. O limite pela direita,
, significa que quando
se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2,
desce para o infinito negativo. Já o limite pela esquerda,
, indica que quando
se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2,
sobe para o infinito positivo. Assim, há uma assíntota vertical em
, e o gráfico se comporta de forma oposta dos dois lados desse ponto.
Passo 6
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Passamos pelo ponto
. - Temos uma assíntota horizontal no eixo
. - Assíntotas verticais em
e . - Perto de
, a função vai para . - Perto de
, a função vai para pela esquerda e pela direita. - Conforme
vai para , se aproxima de 0.
Resposta
O gráfico de
passa pelo ponto
, tem uma assíntota horizontal no eixo
, assíntotas verticais em
e
. Perto de
, a função desce para
. Perto de
, sobe para
pela esquerda e desce para
pela direita. Conforme
vai para
,
se aproxima de 0. O esboço reflete esses comportamentos.