Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)= raizx^2-1, & se x<-2 -x^2+x-1, & se x >=-2

Passo 1

A função é dada por duas expressões: f(x)=raizx^2-1 se x< -2 e f(x)=-x^2+x-1 se x>= -2. O conteúdo aqui envolve análise de domínio de radicais e estudo de função quadrática para imagem, além do esboço gráfico.

Passo 2

Para a primeira parte f1(x)=raizx^2-1 devemos ter x^2-1>=0. Isso implica x<= -1 ou x>=1, mas como essa expressão vale só para x< -2, o domínio desta parte é .

Passo 3

Para a segunda parte f2(x)=-x^2+x-1 não há restrição extra de definição (é polinomial), apenas vale para x>=-2. Assim o domínio desta parte é [-2,∞).

Passo 4

Unindo as duas partes, o domínio de f é
(-∞,-2)cup[-2,∞)= R

Passo 5

Agora a imagem de f1(x)=raizx^2-1 em x< -2: quando xto-2^- temos f1(x)toraiz4-1=raiz3, e quando xto-∞ vem f1(x)to∞. Como o ponto x=-2 não está incluído, a imagem desta parte é (raiz3,∞).

Passo 6

Para f2(x)=-x^2+x-1 em x>=-2, notamos que é uma parábola voltada para baixo com vértice em x=-tfrac b2a=tfrac12. O valor máximo é
f2l(tfrac12r)=-tfrac14+tfrac12-1=-tfrac34,
e à medida que xto∞ ela cai para -∞. No ponto x=-2 temos f2(-2)=-7, mas isso já está no ramo que vai a -∞. Logo a imagem dessa parte é .

Passo 7

Unindo as imagens temos
Im(f)=(-∞,-tfrac34],cup,(raiz3,∞)

Passo 8

Para esboçar o gráfico: desenhe para x< -2 o ramo y=raizx^2-1, que tende a y=raiz3 em xto-2^- (círculo aberto em (-2,raiz3)) e cresce para +∞ à esquerda. Para x>=-2 desenhe a parábola y=-x^2+x-1 com ponto sólido em (-2,-7), vértice em (tfrac12,-tfrac34), caindo depois para -∞.

Resposta

Domínio de f: R. Imagem de f: ( -∞,-tfrac34 ]cup(raiz3,∞). O esboço segue a descrição acima, com salto em x=-2.

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