Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=cl3 x^2+4 x+1, & se x<1 2, & se x=1 -raizx^2+3, & se x>1

Passo 1

A função é por partes, definida como
f(x)= 3x^2+4x+1,&x<1, 2,&x=1, -raizx^2+3,&x>1
O conteúdo envolve função composta por ramos (polinomial, constante e radical). Precisamos esboçar cada ramo, achar domínio e imagem.

Passo 2

O domínio de uma função por partes é a união dos domínios de cada ramo. Aqui temos explicitamente ramos para “x<1”, “x=1” e “x>1”. Logo
Dom(f)=(-infty,1)cup1cup(1,infty)=R

Passo 3

Para o ramo x<1:
Temos f1(x)=3x^2+4x+1, que é uma parábola voltada para cima (coeficiente de x^2 positivo). O vértice ocorre em
xv=-b2a=-42cdot3=-23,
e o valor mínimo
f1(xv)=3l(-23r)^2+4l(-23r)+1=-13
Quando xto1^-, f1(x)to8. Quando xto-infty, f1(x)to+infty. Portanto, para x<1 a imagem é
[-tfrac13,+infty)

Passo 4

No ponto x=1, o valor é constante f(1)=2. Isso aparece no gráfico como um ponto isolado em (1,2).

Passo 5

Para o ramo x>1:
f3(x)=-raizx^2+3. O mínimo de x^2+3 para x>1 ocorre em xto1^+, dando raiz1^2+3=2, então f3to-2 (mas sem incluir -2, pois x>1 é estrito). Quando xto+infty, raizx^2+3to+infty e f3to-infty. Logo a imagem desse ramo é
(-infty,-2)

Passo 6

Unindo as imagens dos três ramos, e lembrando que 2 já está em [-1/3,infty), temos
Im(f)=(-infty,-2)cup[-tfrac13,+infty)

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x<1, desenhe a parábola y=3x^2+4x+1 até x=1, com um círculo aberto em (1,8).
  • Em x=1, coloque um ponto fechado em (1,2).
  • Para x>1, desenhe o ramo de y=-raizx^2+3, começando em um círculo aberto em (1,-2) e descendo indefinidamente.

Passo 8

No esboço percebe-se uma descontinuidade em x=1: a parábola chega em 8 sem incluí-lo, o ponto isolado em 2 e o ramo radical parte de -2 sem incluí-lo.

Resposta

Domínio: R.
Imagem: ( -infty,-2 )cup[ -tfrac13,+infty ).

Exercícios relacionados