Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^(4)-y=0, y(0)=1, y^prime(0) =0, y^prime prime(0)=-1, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de ordem 4 com condições iniciais em y(0), y′(0), y″(0) e y‴(0). O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace para resolver EDOs com condições iniciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo de y^{(4)} - y = 0. Usando as fórmulas padrão, temos:
Ly^(4) = s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0)
Ly = Y(s)
Logo a equação em s fica:
s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0) - Y(s) = 0

Passo 3

Substituímos as condições iniciais y(0)=1, y’(0)=0, y’’(0)=-1 e y’’’(0)=0 na expressão de s:
s^4 Y(s) - s^3cdot1 - s^2cdot0 - scdot(-1) - 0 - Y(s) = 0
Agrupando termos em Y(s):
(s^4 - 1)Y(s) = s^3 - s
Portanto,
Y(s) = s^3 - ss^4 - 1

Passo 4

Fatoramos numerador e denominador para simplificar:
s^3 - s = s(s^2 - 1) = s(s-1)(s+1)
s^4 - 1 = (s^2 - 1)(s^2 + 1) = (s-1)(s+1)(s^2 + 1)
Cancelando (s-1)(s+1), obtemos:
Y(s) = ss^2 + 1

Passo 5

Reconhecemos que Lcos t = s/(s^2+1). Logo, invertendo a transformada de Laplace, obtemos:
y(t) = cos t

Resposta

y(t) = \cos t

Exercícios relacionados