Esboce o gráfico da função
f(x)=x^6-x^4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x^6 - x^4. Isso envolve pintura de pontos notáveis (interceptos, máximos e mínimos locais, inflexões) e entendimento do comportamento para xtopminfty. Vamos usar derivadas para encontrar tudo isso.

Passo 2

Primeiro identificamos domínio, interceptos e simetria. O domínio de f é todo R. Para o intercepto em y, fazemos f(0)=0, logo passa por (0,0). Não há outros zeros além de x=0, pois x^4(x^2-1)=0 dá ainda x=0 e x=pm1; mas substituindo em f vemos f(pm1)=1-1=0. A função é par (só potências pares), logo simétrica em torno do eixo y.

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos. Temos
f'(x)=6x^5 - 4x^3 = 2x^3(3x^2 - 2)
Igualando a zero, obtemos pontos críticos em x=0 e x=pmraiz2/3.

Passo 4

Avaliando f nesses pontos: f(0)=0. Para x=pmraiz2/3:
fl(pmraiz2/3r)=l(23r)^3 - l(23r)^2 = 827-49= -427
Analisando o sinal de f', vemos que em x=0 ocorre máxima local (sinal de positivo para negativo) e em x=pmraiz2/3 ocorrem mínimos locais (sinal de negativo para positivo).

Passo 5

Para ver a concavidade e pontos de inflexão, calculamos
f''(x)=30x^4 - 12x^2 = 6x^2(5x^2-2)
Temos f''(x)=0 em x=0 e em x=pmraiz2/5. Esses últimos são pontos de inflexão. Avaliando f em pmraiz2/5:
fl(pmraiz2/5r)=l(25r)^3 - l(25r)^2 = 8125-425= -12125

Passo 6

Por fim, observamos o comportamento para xtopminfty: como o termo dominante é x^6, temos f(x)to+infty. Unindo tudo: a curva é crescente para x< -raiz2/3, depois tem mínimo em (-raiz2/3,-4/27), atinge inflexão em x=-raiz2/5, sobe até máximo em (0,0), cai de novo até o mínimo em (raiz2/3,-4/27) passando por inflexão em raiz2/5, e finalmente cresce para +infty. Com esses pontos e comportamentos você pode traçar o esboço simétrico que mostra um “vale”, um “topo” em 0, outro “vale” e as caudas subindo nos extremos.

Resposta

Gráfico simétrico (função par) que intercepta o eixo em (-1,0),(0,0),(1,0), tem máximo local em (0,0), mínimos locais em (pmraiz2/3,-4/27), pontos de inflexão em (pmraiz2/5,-12/125) e cresce para +∞ quando xtopminfty.

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