Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
. Isso envolve pintura de pontos notáveis (interceptos, máximos e mínimos locais, inflexões) e entendimento do comportamento para
. Vamos usar derivadas para encontrar tudo isso.
Passo 2
Primeiro identificamos domínio, interceptos e simetria. O domínio de
é todo
. Para o intercepto em
, fazemos
, logo passa por
. Não há outros zeros além de
, pois
dá ainda
e
; mas substituindo em
vemos
. A função é par (só potências pares), logo simétrica em torno do eixo
.
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos. Temos
Igualando a zero, obtemos pontos críticos em
e
.
Passo 4
Avaliando
nesses pontos:
. Para
:
Analisando o sinal de
, vemos que em
ocorre máxima local (sinal de positivo para negativo) e em
ocorrem mínimos locais (sinal de negativo para positivo).
Passo 5
Para ver a concavidade e pontos de inflexão, calculamos
Temos
em
e em
. Esses últimos são pontos de inflexão. Avaliando
em
:
Passo 6
Por fim, observamos o comportamento para
: como o termo dominante é
, temos
. Unindo tudo: a curva é crescente para
, depois tem mínimo em
, atinge inflexão em
, sobe até máximo em
, cai de novo até o mínimo em
passando por inflexão em
, e finalmente cresce para
. Com esses pontos e comportamentos você pode traçar o esboço simétrico que mostra um “vale”, um “topo” em
, outro “vale” e as caudas subindo nos extremos.
Resposta
Gráfico simétrico (função par) que intercepta o eixo em
, tem máximo local em
, mínimos locais em
, pontos de inflexão em
e cresce para +∞ quando
.