Calcule as derivadas.
y=(3 x+x^2)^10x^5

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função y=(3x+x^2)^10x^5. O conteúdo usado aqui será manipulação algébrica para simplificar, seguida de regra do produto e regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de forma mais simples. Note que 3x+x^2=x(x+3), então
y=(x(x+3))^10x^5=x^10(x+3)^10x^5=x^5,(x+3)^10

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em y=u,v, onde u=x^5 e v=(x+3)^10. Precisamos de u' e v'. Pela regra da potência
u'=5x^4,
e pela regra da cadeia em (x+3)^10 temos
v'=10(x+3)^9cdot1=10(x+3)^9

Passo 4

Pela regra do produto,
y'=u'v+uv'=5x^4,(x+3)^10+x^5cdot10(x+3)^9

Passo 5

Para simplificar, fatoramos 5x^4(x+3)^9:
y'=5x^4(x+3)^9l((x+3)+2xr)=5x^4(x+3)^9,(3x+3)

Passo 6

Fatorando ainda mais 3x+3=3(x+1), obtemos
y'=15,x^4,(x+1),(x+3)^9

Resposta

y'=15x^4(x+1)(x+3)^9

Exercícios relacionados