Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
y=x^2-6 x, y=0, x=0 e x=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que fica limitada pelas curvas $ y = x^{2} - 6x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de integrais para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas envolvidas:
  • $ y = x^{2} - 6x $: é uma parábola que abre para cima.
  • $ y = 0 $: é o eixo x.
  • $ x = 0 $ e $ x = 4 $: são linhas verticais que cortam o eixo x nesses pontos.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola $ y = x^{2} - 6x $ e o eixo x $ y = 0 $. Para isso, igualamos as duas equações:
y = x^2 - 6x
Resolvendo a equação:
y = 0
Então, as interseções são nos pontos $ (0, 0) $ e $ (6, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico. A parábola toca o eixo x em $ x = 0 $ e $ x = 6 $, mas nosso intervalo de interesse é de $ x = 0 $ a $ x = 4 $. Nesse intervalo, vamos ver como a parábola se comporta.

Passo 5

Para visualizar melhor, vamos calcular alguns valores de $ y $ para $ x $ entre 0 e 4:
  • Para $ x = 0 $: $ y = 0 $
  • Para $ x = 2 $: $ y = 2^{2} - 6 \times 2 = 4 - 12 = -8 $
  • Para $ x = 4 $: $ y = 4^{2} - 6 \times 4 = 16 - 24 = -8 $
Vemos que a parábola está abaixo do eixo x nesse intervalo.

Passo 6

Agora, para encontrar a área da região delimitada, usamos a integral definida da função $ y = x^{2} - 6x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 4 $. A área $ A $ é dada por:
y = x^2 - 6x
Aqui, subtraímos a função da linha $ y = 0 $ porque a parábola está abaixo do eixo x.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
A = integral0^4 (-x^2 + 6x) , dx = [ -x^33 + 3x^2 ]0^4
Calculando nos limites:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Para $ x = 0 $:
-4^33 + 3 times 4^2 = -643 + 48 = -643 + 1443 = 803

Resposta

Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{80}{3} $ unidades quadradas.

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