Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que fica limitada pelas curvas $ y = x^{2} - 6x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de integrais para encontrar a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas envolvidas:
- $ y = x^{2} - 6x $: é uma parábola que abre para cima.
- $ y = 0 $: é o eixo x.
- $ x = 0 $ e $ x = 4 $: são linhas verticais que cortam o eixo x nesses pontos.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola $ y = x^{2} - 6x $ e o eixo x $ y = 0 $. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo a equação:
Então, as interseções são nos pontos $ (0, 0) $ e $ (6, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico. A parábola toca o eixo x em $ x = 0 $ e $ x = 6 $, mas nosso intervalo de interesse é de $ x = 0 $ a $ x = 4 $. Nesse intervalo, vamos ver como a parábola se comporta.
Passo 5
Para visualizar melhor, vamos calcular alguns valores de $ y $ para $ x $ entre 0 e 4:
- Para $ x = 0 $: $ y = 0 $
- Para $ x = 2 $: $ y = 2^{2} - 6 \times 2 = 4 - 12 = -8 $
- Para $ x = 4 $: $ y = 4^{2} - 6 \times 4 = 16 - 24 = -8 $
Vemos que a parábola está abaixo do eixo x nesse intervalo.
Passo 6
Agora, para encontrar a área da região delimitada, usamos a integral definida da função $ y = x^{2} - 6x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 4 $. A área $ A $ é dada por:
Aqui, subtraímos a função da linha $ y = 0 $ porque a parábola está abaixo do eixo x.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = 0 $:
Resposta
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{80}{3} $ unidades quadradas.