Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Se o metal que forma os lados custa R e o que forma as bases custa e o que forma as bases custa , encontre as dimensōes que minimizarāo o custo do metal para produzir a lata.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma lata cilíndrica que precisa guardar 1 litro de óleo. A gente sabe que o custo do metal pra formar os lados da lata custa R$ 2.000 por cm² e o das bases custa R$ 3.000 por cm². O objetivo aqui é encontrar as dimensões (altura e raio) da lata que vão fazer o custo total do metal ser o menor possível. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria (volume e área de cilindro) e um pouquinho de cálculo pra otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 litro é igual a 1.000 cm³. O volume de um cilindro é dado pela fórmula:
V = pi r^2 h
Onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura. Como sabemos que $ V = 1000 , cm^3 $, podemos escrever:
r

Passo 3

Queremos minimizar o custo, então precisamos expressar o custo total em função de $ r $ e $ h $. A área das bases do cilindro é $ 2 \pi r^2 $ (já que são duas bases) e a área lateral é $ 2 \pi r h $. Dado o custo por área:
  • Custo das bases: $ 2 \pi r^2 \times 3000 $
  • Custo da lateral: $ 2 \pi r h \times 2000 $
Então, o custo total $ C $ é:
r
h

Passo 4

Mas a gente tem uma relação entre $ r $ e $ h $ pelo volume. Da equação $ \pi r^2 h = 1000 $, podemos isolar $ h $:
r
Vamos substituir esse $ h $ na fórmula do custo para termos $ C $ só em função de $ r $:
h
pi r^2 h = 1000

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de $ r $ que minimiza o custo, precisamos derivar $ C® $ em relação a $ r $ e igualar a zero:
r
Igualando a derivada a zero:
C(r)
r
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
C'(r) = 12000 pi r - 4.000.000r^2
12000 pi r - 4.000.000r^2 = 0
12000 pi r = 4.000.000r^2
r^2

Passo 6

Vamos calcular o valor de $ r $:
r
r approx ( 10003 times 3,1416 )^1/3
r approx ( 10009,4248 )^1/3
r approx ( 106,103 )^1/3

Passo 7

Agora que temos $ r $, vamos encontrar $ h $ usando a relação que tínhamos antes:
r
Substituindo $ r \approx 4,73 , cm $:
h
h = 1000pi r^2
r approx 4,73 , cm
h approx 1000pi times (4,73)^2

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do metal para produzir a lata são aproximadamente um raio de $ 4,73 , cm $ e uma altura de $ 14,2 , cm $.

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