Esboce o gráfico da função
f(x)=x^3-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra sobre funções cúbicas. Vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, e pontos de inflexão para saber onde a curvatura muda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo y é fácil: basta calcular f(0) = 0^3 - 4 times 0 = 0 .
x^3 - 4x = 0 x (x^2 - 4) = 0 x = 0 ou x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, o intercepto y é no ponto (0, 0).
Para encontrar os interceptos com o eixo x, resolvemos :
Portanto, os interceptos x são nos pontos (-2, 0), (0, 0) e (2, 0).

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de f'(x) = 3x^2 - 4 é:
3x^2 - 4 = 0 3x^2 = 4 x^2 = 43 x = pm 2raiz3 approx pm 1,1547
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Esses são os pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
  1. Para f'(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 :
    • Pegamos, por exemplo, f'(0) = 3(0)^2 - 4 = -4 < 0 :
    f'(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para :
    • Pegamos :
    A função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Para :
    • Pegamos :
    A função está crescendo novamente nesse intervalo.

Passo 5

Vamos também encontrar o ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, encontramos a segunda derivada:
f''(x) = 6x
Igualando a zero para achar o ponto de inflexão:
6x = 0 Rightarrow x = 0
Então, o ponto de inflexão está em . Calculando , já sabemos que é 0, então o ponto de inflexão é (0, 0).

Passo 6

Agora, juntando todas as informações:
  • Interceptos: (-2, 0), (0, 0), (2, 0)
  • Crescimento:
    • Cresce em e
    • Decresce entre e
  • Ponto de inflexão: (0, 0)
Além disso, sabemos que para funções cúbicas, quando tende a , também tende a , e quando tende a , tende a .

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico da função é uma curva cúbica que passa pelos pontos (-2, 0), (0, 0) e (2, 0). Ela cresce para valores de menores que aproximadamente -1,1547, decresce entre -1,1547 e 1,1547, e cresce novamente para maiores que 1,1547. O ponto de inflexão está em (0, 0). A curva se estende para cima à direita e para baixo à esquerda, formando uma típica forma de “S” invertido.

Gráfico Esboçado

(Aqui, você desenharia o gráfico baseado nas informações acima.)

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