Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra sobre funções cúbicas. Vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, e pontos de inflexão para saber onde a curvatura muda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo y é fácil: basta calcular
.
Então, o intercepto y é no ponto (0, 0).
Para encontrar os interceptos com o eixo x, resolvemos
:
Portanto, os interceptos x são nos pontos (-2, 0), (0, 0) e (2, 0).
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Esses são os pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
-
Para
: - Pegamos, por exemplo,
:
Então, a função está crescendo nesse intervalo. - Pegamos, por exemplo,
-
Para
: - Pegamos
:
A função está decrescendo nesse intervalo. - Pegamos
-
Para
: - Pegamos
:
A função está crescendo novamente nesse intervalo. - Pegamos
Passo 5
Vamos também encontrar o ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, encontramos a segunda derivada:
Igualando a zero para achar o ponto de inflexão:
Então, o ponto de inflexão está em
. Calculando
, já sabemos que é 0, então o ponto de inflexão é (0, 0).
Passo 6
Agora, juntando todas as informações:
- Interceptos: (-2, 0), (0, 0), (2, 0)
- Crescimento:
- Cresce em
e - Decresce entre
e
- Cresce em
- Ponto de inflexão: (0, 0)
Além disso, sabemos que para funções cúbicas, quando
tende a
,
também tende a
, e quando
tende a
,
tende a
.
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico da função
é uma curva cúbica que passa pelos pontos (-2, 0), (0, 0) e (2, 0). Ela cresce para valores de
menores que aproximadamente -1,1547, decresce entre -1,1547 e 1,1547, e cresce novamente para
maiores que 1,1547. O ponto de inflexão está em (0, 0). A curva se estende para cima à direita e para baixo à esquerda, formando uma típica forma de “S” invertido.
Gráfico Esboçado
(Aqui, você desenharia o gráfico baseado nas informações acima.)