Determine os pontos críticos da função f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2 e use o teste da primeira derivada para ver quando cada um desses pontos críticos corresponde um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum deles.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} $ e determinar se cada ponto crítico corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos utilizar o conceito de derivadas, especificamente a primeira derivada, que nos ajuda a identificar onde a função tem seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto $ x $. Vamos calcular $ f’(x) $:
f(x)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, devemos resolver a equação $ f’(x) = 0 $. Ou seja, vamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem:
f'(x) = 0
Podemos simplificar essa equação fatorando o termo comum:
x

Passo 4

Continuando a fatoração, fatoramos o polinômio quadrático dentro dos parênteses:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, a equação fica:
12x(x - 2)(x + 1) = 0

Passo 5

Igualando cada fator a zero, encontramos os valores de $ x $:
x
12x = 0 Rightarrow x = 0
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2
Portanto, os pontos críticos são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 6

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum, vamos utilizar o teste da primeira derivada. Esse teste analisa o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico:
  1. Para $ x = -1 $:
    • Escolhemos valores próximos, por exemplo, $ x = -2 $ e $ x = 0 $.
    • Calculamos $ f’(-2) = 12(-2)^{3} - 12(-2)^{2} - 24(-2) = -96 - 48 + 48 = -96 $ (negativo).
    • Calculamos $ f’(0) = 0 $ (já sabemos).
    • A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
  2. Para $ x = 0 $:
    • Escolhemos valores próximos, por exemplo, $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
    • Calculamos $ f’(-1) = 0 $ (já sabemos).
    • Calculamos $ f’(1) = 12(1)^{3} - 12(1)^{2} - 24(1) = 12 - 12 - 24 = -24 $ (negativo).
    • A derivada permanece negativa, indicando que não há máximo nem mínimo relativo.
  3. Para $ x = 2 $:
    • Escolhemos valores próximos, por exemplo, $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
    • Calculamos $ f’(1) = -24 $ (negativo).
    • Calculamos $ f’(3) = 12(3)^{3} - 12(3)^{2} - 24(3) = 324 - 108 - 72 = 144 $ (positivo).
    • A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} $ são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Utilizando o teste da primeira derivada:
  • $ x = -1 $ é um mínimo relativo.
  • $ x = 0 $ não é um máximo nem um mínimo relativo.
  • $ x = 2 $ é um mínimo relativo.

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