Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções racionais. A gente vai precisar fatorar o denominador e analisar como a função se comporta quando $ t $ se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da primeira fração. Temos:
Vamos procurar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Passo 3
Agora, reescrevemos a expressão original substituindo o denominador fatorado:
Para somar essas frações, precisamos de denominadores iguais. A segunda fração já tem $ t + 4 $ no denominador, então multiplicamos o numerador e denominador da segunda fração por $ (t - 1) $:
Passo 4
Agora que temos os denominadores iguais, podemos somar os numeradores:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos analisar o limite dessa expressão quando $ t $ se aproxima de
pela direita. Ou seja, $ t $ está chegando perto de
por valores maiores que
.
Passo 6
Vamos ver como cada parte da fração se comporta:
- $ t + 4 $ está se aproximando de
por valores positivos, já que $ t $ está chegando de cima para . - $ t - 1 $ está se aproximando de
, que é um número negativo constante.
Passo 7
O numerador, $ 3t - 1 $, quando $ t $ se aproxima de
, fica:
Então, o numerador está se aproximando de
.
Passo 8
Agora, juntando tudo:
- O numerador está se aproximando de
. - O denominador está se aproximando de
(zero positivo) multiplicado por , o que dá aproximadamente .
Passo 9
Uma fração onde o numerador é um número negativo constante (
) e o denominador está se aproximando de zero negativo resulta em
, já que negativo dividido por negativo dá positivo, e estamos dividindo por um número cada vez menor próximo de zero.