Calcule os limites:
lim t -4+(2t^2+3 t-4+3t+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções racionais. A gente vai precisar fatorar o denominador e analisar como a função se comporta quando $ t $ se aproxima de t pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da primeira fração. Temos:
t^2 + 3t - 4
Vamos procurar dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1. Então:
t^2 + 3t - 4 = (t + 4)(t - 1)

Passo 3

Agora, reescrevemos a expressão original substituindo o denominador fatorado:
2(t + 4)(t - 1) + 3t + 4
Para somar essas frações, precisamos de denominadores iguais. A segunda fração já tem $ t + 4 $ no denominador, então multiplicamos o numerador e denominador da segunda fração por $ (t - 1) $:
t + 4

Passo 4

Agora que temos os denominadores iguais, podemos somar os numeradores:
2 + 3(t - 1)(t + 4)(t - 1)
Simplificando o numerador:
2 + 3t - 3 = 3t - 1
Então, a expressão fica:
3t - 1(t + 4)(t - 1)

Passo 5

Vamos analisar o limite dessa expressão quando $ t $ se aproxima de t pela direita. Ou seja, $ t $ está chegando perto de -4 por valores maiores que t .

Passo 6

Vamos ver como cada parte da fração se comporta:
  • $ t + 4 $ está se aproximando de t + 4 por valores positivos, já que $ t $ está chegando de cima para 0.
  • $ t - 1 $ está se aproximando de t , que é um número negativo constante.

Passo 7

O numerador, $ 3t - 1 $, quando $ t $ se aproxima de 3t - 1 , fica:
t
Então, o numerador está se aproximando de -4.

Passo 8

Agora, juntando tudo:
  • O numerador está se aproximando de -13.
  • O denominador está se aproximando de 0^+ (zero positivo) multiplicado por -5, o que dá aproximadamente 0^-.

Passo 9

Uma fração onde o numerador é um número negativo constante ( -13) e o denominador está se aproximando de zero negativo resulta em +infty, já que negativo dividido por negativo dá positivo, e estamos dividindo por um número cada vez menor próximo de zero.

Resposta

+infty

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