Esboce o gráfico da função:
Responda os intens abaixo de acordo com a função acima:
iv) Calcular os limites laterais da função nos casos:
-
mas
é extremos de um dos intervalos que compõem
;
, mas
não é continua em
;
iv) Calcular os limites laterais da função nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Você me mandou um exercício sobre a função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $. A tarefa é calcular os limites laterais dessa função em dois casos específicos:
- Quando $ p $ não está no domínio da função, mas é um ponto extremo de um dos intervalos que formam o domínio.
- Quando $ -p $ está no domínio, mas a função não é contínua em $ p $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio, limites laterais e continuidade. Vamos destrinchar cada um desses conceitos enquanto resolvemos o exercício!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
A função está definida quando o denominador $ x^{2} + 2 $ não é zero:
Resolvendo:
Como $ x^{2} $ é sempre não negativo e nunca igual a -2, a equação nunca será zero. Portanto, o domínio $ D_f $ é:
Passo 3
Agora, vamos entender o que são limites laterais. O limite lateral da função em um ponto $ p $ é o valor que $ f(x) $ se aproxima quando $ x $ se aproxima de $ p $ pela direita ($ x \to p^+
x \to p^- $).
E continuidade em um ponto significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 4
Vamos analisar o primeiro caso:
Caso 1: $ p \notin D_f $ mas $ p $ é extremo de um dos intervalos que compõem $ D_f $.
Como nosso domínio $ D_f $ é todos os números reais, não há pontos $ p $ que não pertencem ao domínio. Além disso, $ D_f $ é um único intervalo contínuo sem extremos (não tem limites no infinito real). Portanto, esse caso não se aplica à nossa função.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo caso:
Caso 2: $ -p \in D_f $, mas $ f $ não é contínua em $ p $.
Como vimos, $ D_f = \mathbb{R} $, então $ -p \in D_f $ para qualquer $ p $. Porém, para que $ f $ não seja contínua em $ p $, teria que existir uma descontinuidade.
Vamos verificar a continuidade da nossa função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $:
- O denominador $ x^{2} + 2 $ é sempre positivo e nunca zero, então a função está definida para todos os reais.
- Não há pontos de quebra, salto ou assíntotas horizontais súbitas.
Portanto, a função é contínua em todos os pontos do seu domínio. Isso significa que não existe nenhum ponto $ p $ onde $ f $ não é contínua.
Passo 6
Resumindo:
- Não existem pontos $ p $ que não pertencem ao domínio, já que $ D_f = \mathbb{R} $.
- A função $ f $ é contínua em todo o seu domínio, então não há pontos onde ela não é contínua.
Assim, não há limites laterais a serem calculados nos casos apresentados, pois as condições necessárias não ocorrem para essa função específica.
Resposta
Como $ D_f = \mathbb{R} $ e $ f(x) $ é contínua em todo o domínio, não existem limites laterais a serem calculados nos casos apresentados para esta função.