Esboce o gráfico da função:
f(x)=3x^2+2
Responda os intens abaixo de acordo com a função acima:
ii) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função - (Para isso, calcule a derivada das funções pela definição);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ e, na parte ii), descobrir em quais intervalos a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função estar crescendo ou decrescendo. Se a derivada da função for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $. A derivada nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em cada ponto.

Passo 4

Para derivar $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $, podemos reescrever a função como $ f(x) = 3(x^{2} + 2)^{-1} $. Assim, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando a derivada:
f'(x) = 3 cdot (-1) cdot (x^2 + 2)^-2 cdot 2x = -6x(x^2 + 2)^2

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) = -\frac{6x}{(x^{2} + 2)^{2}} $. O denominador $ (x^{2} + 2)^{2} $ é sempre positivo, então o sinal da derivada depende do numerador, que é $ -6x $.

Passo 7

Se $ -6x > 0 $, ou seja, quando $ x < 0 $, a derivada é positiva, indicando que a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 8

Se $ -6x < 0 $, ou seja, quando $ x > 0 $, a derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 9

Portanto, a função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ está:
  • Crescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $
  • Decrescendo no intervalo $ (0, +\infty) $

Resposta

A função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ está crescente para $ x < 0 $ e decrescente para $ x > 0 $.

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