Esboce o gráfico da função:
Responda os intens abaixo de acordo com a função acima:
v) Calcular os limites para
e
;
v) Calcular os limites para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ e, em específico, calcular os limites dessa função quando $ x $ tende para $ +\infty $ e $ -\infty $. Para isso, vamos precisar entender o que são limites no infinito e como analisar o comportamento das funções quando os valores de $ x $ ficam muito grandes ou muito pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite quando $ x $ tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Basicamente, queremos saber para qual valor a função se aproxima quando os valores de $ x $ ficam cada vez maiores ou menores.
Passo 3
Vamos olhar a função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $. Observe que no denominador temos $ x^{2} + 2 $. À medida que $ x $ cresce, $ x^{2} $ cresce ainda mais rápido. Isso significa que o denominador fica muito grande conforme $ x $ aumenta.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ tende para $ +\infty $:
Como $ x^{2} $ cresce para $ +\infty $, o termo $ x^{2} + 2 $ também tende para $ +\infty $. Então, a fração $ \frac{3}{x^{2} + 2} $ tende para 0, porque estamos dividindo um número fixo por algo que cresce sem limite.
Passo 5
De maneira semelhante, vamos calcular o limite quando $ x $ tende para $ -\infty $:
Mesmo quando $ x $ é negativo, $ x^{2} $ é sempre positivo e cresce para $ +\infty $ conforme $ |x| $ aumenta. Portanto, novamente, o denominador $ x^{2} + 2 $ tende para $ +\infty $, fazendo com que a fração $ \frac{3}{x^{2} + 2} $ se aproxime de 0.
Resposta
Ambos os limites são iguais a 0: