Esboce o gráfico da função:
Responda os intens abaixo de acordo com a função acima:
iii) Estudar a concavidade e os pontos de inflexão - (Para isso, calcule a derivada das funções pela definição);
iii) Estudar a concavidade e os pontos de inflexão - (Para isso, calcule a derivada das funções pela definição);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ e, especificamente, estudar a concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição e aplicar esses conceitos para analisar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade e ponto de inflexão. A concavidade da função nos mostra se o gráfico está “sorrindo” para cima ou para baixo. Se a segunda derivada for positiva, o gráfico é côncavo para cima; se for negativa, é côncavo para baixo. Um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de positiva para negativa ou vice-versa, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 3
Para encontrar a concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função $ f(x) $. Vamos começar com a primeira derivada usando a definição:
Então, substituindo $ f(x) $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão do limite:
Expandindo
:
Substituindo de volta:
Simplificando o numerador:
Cancelando o $ h $:
Agora, aplicando o limite quando $ h \to 0 $:
Passo 5
Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = \frac{-6x}{(x^{2} + 2)^{2}} $, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ usando a definição novamente:
Substituindo $ f’(x) $:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Essa expressão é bastante complexa, então para facilitar, podemos usar regras de derivação para obter a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente na primeira derivada:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos a segunda derivada $ f’’(x) = \frac{18x^{2} - 12}{(x^{2} + 2)^{3}} $, vamos analisar a concavidade:
- Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
- Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Vamos resolver $ 18x^{2} - 12 = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Passo 8
Analisando os intervalos:
- Para $ |x| < \frac{\sqrt{6}}{3} $, $ 18x^{2} - 12 < 0 $, então $ f’’(x) < 0 $: côncava para baixo.
- Para $ |x| > \frac{\sqrt{6}}{3} $, $ 18x^{2} - 12 > 0 $, então $ f’’(x) > 0 $: côncava para cima.
Isso significa que em $ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $ ocorre uma mudança na concavidade, indicando pontos de inflexão.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ é côncava para baixo quando $ |x| < \frac{\sqrt{6}}{3} $ e côncava para cima quando $ |x| > \frac{\sqrt{6}}{3} $. Além disso, possui pontos de inflexão nos pontos $ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.