Esboce o gráfico da função:
f(x)=3x^2+2
Responda os intens abaixo de acordo com a função acima:
iii) Estudar a concavidade e os pontos de inflexão - (Para isso, calcule a derivada das funções pela definição);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ e, especificamente, estudar a concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição e aplicar esses conceitos para analisar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade e ponto de inflexão. A concavidade da função nos mostra se o gráfico está “sorrindo” para cima ou para baixo. Se a segunda derivada for positiva, o gráfico é côncavo para cima; se for negativa, é côncavo para baixo. Um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de positiva para negativa ou vice-versa, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 3

Para encontrar a concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função $ f(x) $. Vamos começar com a primeira derivada usando a definição:
f(x)
Então, substituindo $ f(x) $:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do limite:
f'(x) = limh to 0 3(x^2 + 2) - 3((x + h)^2 + 2)h[(x + h)^2 + 2](x^2 + 2)
Expandindo (x + h)^2:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Substituindo de volta:
f'(x) = limh to 0 3x^2 + 6 - 3x^2 - 6xh - 3h^2 - 6h[(x^2 + 2xh + h^2 + 2)(x^2 + 2)]
Simplificando o numerador:
f'(x) = limh to 0 -6xh - 3h^2h[(x^2 + 2xh + h^2 + 2)(x^2 + 2)]
Cancelando o $ h $:
h
Agora, aplicando o limite quando $ h \to 0 $:
f'(x) = limh to 0 -6x - 3h(x^2 + 2xh + h^2 + 2)(x^2 + 2)

Passo 5

Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = \frac{-6x}{(x^{2} + 2)^{2}} $, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ usando a definição novamente:
f'(x) = -6x(x^2 + 2)^2
Substituindo $ f’(x) $:
f''(x)

Passo 6

Simplificando a expressão:
f''(x) = limh to 0 -6(x + h)(x^2 + 2)^2 + 6x((x + h)^2 + 2)^2h[(x + h)^2 + 2)^2(x^2 + 2)^2]
Essa expressão é bastante complexa, então para facilitar, podemos usar regras de derivação para obter a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente na primeira derivada:
f''(x) = ddx( -6x(x^2 + 2)^2 ) = -6(x^2 + 2)^2 - (-6x)(2)(x^2 + 2)(2x)(x^2 + 2)^4
Simplificando:
f''(x) = -6(x^2 + 2) + 24x^2(x^2 + 2)^3 = 18x^2 - 12(x^2 + 2)^3

Passo 7

Agora que temos a segunda derivada $ f’’(x) = \frac{18x^{2} - 12}{(x^{2} + 2)^{3}} $, vamos analisar a concavidade:
  • Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
  • Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Vamos resolver $ 18x^{2} - 12 = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
f''(x) = 18x^2 - 12(x^2 + 2)^3

Passo 8

Analisando os intervalos:
  • Para $ |x| < \frac{\sqrt{6}}{3} $, $ 18x^{2} - 12 < 0 $, então $ f’’(x) < 0 $: côncava para baixo.
  • Para $ |x| > \frac{\sqrt{6}}{3} $, $ 18x^{2} - 12 > 0 $, então $ f’’(x) > 0 $: côncava para cima.
Isso significa que em $ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $ ocorre uma mudança na concavidade, indicando pontos de inflexão.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{3}{x^{2} + 2} $ é côncava para baixo quando $ |x| < \frac{\sqrt{6}}{3} $ e côncava para cima quando $ |x| > \frac{\sqrt{6}}{3} $. Além disso, possui pontos de inflexão nos pontos $ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.

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