Mostre que a solução geral de
pode ser expressa como
ou como
, onde
são constantes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
pode ser escrita tanto como uma combinação de cosseno e seno com fase única quanto análogo para o seno.
Passo 2
A solução padrão dessa EDO vem de resolver a equação característica. Assumindo uma solução do tipo
, temos
cuja raízes são
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Para passar dessa forma para um único cosseno com fase, lembramos da identidade trigonométrica de soma de ângulos:
Comparando com
Passo 4
Podemos então determinar
e
em função de
e
. Calculando
e escolhendo
obtemos a forma
com
Passo 5
Para a forma com o seno basta usar outra identidade de soma de ângulos:
e igualar aos coeficientes
Resposta
A solução geral pode ser escrita como
ou, alternativamente,
onde
são constantes.