Mostre que a solução geral de y^prime prime+y=0 pode ser expressa como y(x)= A1 cos (x+de ou como y(x)=A2 sen(x+de, onde A1, de são constantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y''+y=0
pode ser escrita tanto como uma combinação de cosseno e seno com fase única quanto análogo para o seno.

Passo 2

A solução padrão dessa EDO vem de resolver a equação característica. Assumindo uma solução do tipo y=e^rx, temos
r^2+1=0
cuja raízes são r=pm i. Logo a solução geral é
y(x)=C1cos x + C2sin x
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Para passar dessa forma para um único cosseno com fase, lembramos da identidade trigonométrica de soma de ângulos:
Acos(x+de
Comparando com C1cos x + C2sin x, identificamos
C1 = Acosde

Passo 4

Podemos então determinar A e de em função de C1 e C2. Calculando
A = raizC1^2+C2^2,
e escolhendo de tal que
cosde
obtemos a forma
y(x)=Acos(x+de
com A>0 e de real.

Passo 5

Para a forma com o seno basta usar outra identidade de soma de ângulos:
A'sin(x+de
e igualar aos coeficientes C1 e C2. Isso leva a valores adequados de A' e de e resulta em
y(x)=A'sin(x+de

Resposta

A solução geral pode ser escrita como
y(x)=A1cosl(x+de
ou, alternativamente,
y(x)=A2sinl(x+de
onde A1,de são constantes.

Exercícios relacionados