Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
d) integral0^1 integraly^2 y e^x d x d y

Passo 1

O exercício pede para esboçar a região dada pela integral integral0^1integraly^2ye^x,dx,dy, inverter a ordem de integração e calcular o valor. O conteúdo envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região no plano xy. As curvas limites são x=y e x=2y para 0<= y<=1. No gráfico, isso forma uma região cujos vértices são (0,0), (1,1) e (2,1).

Passo 3

Para inverter a ordem, descrevemos a região por desigualdades:
0 <= y <= 1, y <= x <= 2y
Isso equivale a ter x variando de 0 a 2, e para cada x o y fica entre x/2 e x, mas respeitando y<=1. Logo dividimos em dois casos:
  • Para 0<= x<=1: y varia de x/2 até x.
  • Para 1<= x<=2: y varia de x/2 até 1.

Passo 4

A integral com a ordem invertida fica
integral0^1integralx/2^xe^x,dy,dx ;+ ; integral1^2integralx/2^1e^x,dy,dx

Passo 5

Agora calculamos as duas partes. Primeiro, integrar em y dá:
integralx/2^xe^x,dy = e^xl(x-tfracx2r)=tfracx2e^x,
integralx/2^1e^x,dy = e^xl(1-tfracx2r)

Passo 6

Assim a integral total é
integral0^1tfracx2e^x,dx ;+ ; integral1^2e^xl(1-tfracx2r),dx

Passo 7

Calculando cada parte:
integral0^1tfracx2e^x,dx = tfrac12, integral1^2e^xl(1-tfracx2r),dx = e^22-e

Passo 8

Somando-as obtemos
tfrac12 + l(tfrace^22-er) = e^2-2e+12 = (e-1)^22

Resposta

(e-1)^22

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