Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
d)
d)
Passo 1
O exercício pede para esboçar a região dada pela integral
, inverter a ordem de integração e calcular o valor. O conteúdo envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, esboçamos a região no plano xy. As curvas limites são
e
para
. No gráfico, isso forma uma região cujos vértices são
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, descrevemos a região por desigualdades:
Isso equivale a ter
variando de 0 a 2, e para cada
o
fica entre
e
, mas respeitando
. Logo dividimos em dois casos:
- Para
: varia de até . - Para
: varia de até .
Passo 4
A integral com a ordem invertida fica
Passo 5
Agora calculamos as duas partes. Primeiro, integrar em
dá:
Passo 6
Assim a integral total é
Passo 7
Calculando cada parte:
Passo 8
Somando-as obtemos